Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3 (8 BE)

Die Spitze

S

des Kegels wird geradlinig mit dem in der Ebene

E

liegenden Punkt

Q (2 | - 20 | 9)

verbunden. Auf der Strecke

[S Q]

bewegt sich der Mittelpunkt einer Kugel mit Radius

3

auf die Ebene

E

zu. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes

B

, in dem die Kugel die Ebene

E

berührt.

Lösung zu Teilaufgabe 3

Schnitt Kugel - Ebene

M (- 2 | 4 | 1), S (6 | 8 | 9), Q (2 | - 20 | 9), r_{K} = 3

Vektoren bestimmen:

\vec{M S} = \vec{O S} - \vec{O M} = (\begin{matrix} 6 \\ 8 \\ 9 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 8 \\ 4 \\ 8 \end{matrix})

\vec{Q M} = \vec{O M} - \vec{O Q} = (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ - 20 \\ 9 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 4 \\ 24 \\ - 8 \end{matrix})

Länge der Vektoren bestimmen:

\bar{M S} = | \vec{M S} | = | (\begin{matrix} 8 \\ 4 \\ 8 \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} 8 \\ 4 \\ 8 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{8^{2} + 4^{2} + 8^{2}} = \sqrt{144} = 12

\bar{Q M} = | \vec{Q M} | = | (\begin{matrix} - 4 \\ 24 \\ - 8 \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} - 4 \\ 24 \\ - 8 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{(- 4)^{2} + 24^{2} + (- 8)^{2}} = \sqrt{656}

Schritt einblenden / ausblenden

Strahlensatz

Nach dem Strahlensatz gilt:

\frac{\bar{A A^{'}}}{\bar{B B^{'}}} = \frac{\bar{O A}}{\bar{O B}}

\frac{\bar{Q B}}{r_{K}} = \frac{\bar{Q M}}{\bar{M S}}

\Rightarrow \bar{Q B} = \frac{r_{K} \cdot \bar{Q M}}{\bar{M S}} = \frac{3 \cdot \sqrt{656}}{12} = \frac{1}{4} \sqrt{656}

Berührungspunkt

B

bestimmen:

\vec{O B} = \vec{O Q} + \bar{Q B} \cdot \frac{\vec{Q M}}{\bar{Q M}}

= (\begin{matrix} 2 \\ - 20 \\ 9 \end{matrix}) + \frac{1}{4} \sqrt{656} \cdot \frac{(\begin{matrix} - 4 \\ 24 \\ - 8 \end{matrix})}{\sqrt{656}}

= (\begin{matrix} 2 \\ - 20 \\ 9 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 1 \\ 6 \\ - 2 \end{matrix})

= (\begin{matrix} 1 \\ - 14 \\ 7 \end{matrix})

\Rightarrow B (1 | - 14 | 7)

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Lösungen zu:

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Teilaufgabe 1b

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Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 3

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Schnitt Kugel - Ebene

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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