Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1a (5 BE)

In einem kartesischen Koordinatensystem des

ℝ^{3}

sind die Punkte

M (- 2 | 4 | 1), S (6 | 8 | 9), P (4 | - 8 | 1)

sowie die Gerade

g : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}), λ \in ℝ

, gegeben.
Die Strecke

[M S]

ist die Höhe eines geraden Kreiskegels. Sein Grundkreis

k

um den Punkt

M

hat den Radius

6 \sqrt{5}

und liegt in der Ebene

E

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene

E

in Normalenform und zeigen Sie, dass der Punkt

P

auf dem Grundkreis

k

liegt.

[Zur Kontrolle:

E : 2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} - 2 = 0

]

Lösung zu Teilaufgabe 1a

Ebene aus Punkt und Normalenvektor

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

M (- 2 | 4 | 1), S (6 | 8 | 9), P (4 | - 8 | 1), r_{k} = 6 \sqrt{5}

\vec{M S} = \vec{O S} - \vec{O M} = (\begin{matrix} 6 \\ 8 \\ 9 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 8 \\ 4 \\ 8 \end{matrix})

Normalenvektor der Ebene

E

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die Grundfläche

k

des Kegels liegt in der Ebene

E

. Dementsprechend liegt der Höhenvektor

\vec{M S}

senkrecht zur Ebene

E

und bildet somit einen Normalenvektor der Ebene.

Zur Vereinfachung wird hier der Vektor

\vec{M S}

geviertelt.

\vec{n_{E}} = \frac{1}{4} \cdot \vec{M S} = \frac{1}{4} \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 4 \\ 8 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

Normalenform der Ebene

E

aufstellen:

Schritt einblenden / ausblenden

Ebenengleichung

Ist ein Punkt

M

und der Normalenvektor

\vec{n}

einer Ebene

E

gegeben, dann gilt für die Ebenengleichung in Normalenform:

E_{\vec{m}, \vec{n}}^{N} : (\vec{x} - \vec{m}) \cdot \vec{n} = 0

E^{N} : [\vec{x} - (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ 1 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) = 0

E^{N} : \vec{x} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) - 2 = 0

E^{N} : 2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} - 2 = 0

Abstand zweier Punkte

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Abstand zwischen dem Punkt

P

und dem Mittelpunkt

M

des Kreises

k

bestimmen:

\vec{P M} = \vec{O M} - \vec{O P} = (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 4 \\ - 8 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 6 \\ 12 \\ 0 \end{matrix})

\bar{P M} = | \vec{P M} | = | (\begin{matrix} - 6 \\ 12 \\ 0 \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} - 6 \\ 12 \\ 0 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{(- 6)^{2} + 12^{2} + 0^{2}} = \sqrt{180} = 6 \sqrt{5}

\Rightarrow \bar{P M} = r_{k}

Der Abstand des Punktes

P

zum Mittelpunkt

M

ist gleich dem Radius des Kreises

k

Lage eines Punktes

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Prüfen ob der Punkt

P

auf der Ebene

E

liegt:

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

Der Punkt

P

wird in die Ebenengleichung eingesetzt.
Liegt der Punkt in der Ebene, so erfüllt er die Ebenengleichung.

(\begin{matrix} 4 \\ - 8 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) - 2 = 0

8 - 8 + 2 - 2 = 0

0 = 0

\Rightarrow P \in E

Da der Punkt

P

in der Ebene

E

liegt und Abstand

r_{k}

zum Punkt

M

hat, muss dieser auch auf dem Kreis

k

liegen.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 3

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Themen dieser Aufgabe:

Ebene aus Punkt und Normalenvektor

Abstand zweier Punkte

Lage eines Punktes

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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