Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik GK Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3a (10 BE)

Als weiterer Teil der Werbekampagne wird in der Fußgängerzone ein Glücksrad mit 4 gleich großen Sektoren aufgebaut. Dreht ein Passant das Glücksrad, so bekommt er eine Flasche BioFrucht der angezeigten Sorte geschenkt.
10 Personen drehen nacheinander je einmal das Glücksrad.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

E: "Genau 3 Personen erhalten je eine Flasche der Sorte D."
F: "Mindestens 3 Personen erhalten eine Flasche der Sorte D."
G: "3 aufeinander folgende Personen erhalten eine Flasche der Sorte D, die restlichen Personen erhalten Flaschen anderer Sorten."

Lösung zu Teilaufgabe 3a

Binomialverteilung

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E: "Genau 3 Personen erhalten je eine Flasche der Sorte D."

n = 10

k = 3

p

(Treffer)

= P

(Sorte D)

= \frac{1}{4}

Schritt einblenden / ausblenden

Binomialverteilung für n Versuche

Allgemein gilt:

B (n; p; k) = P_{p}^{n} (z = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

n = Anzahl der Versuche
k = Anzahl der Treffer
p = Wahrscheinlichkeit eines Treffers
1-p = Wahrscheinlichkeit einer Niete

P (E) = P_{\frac{1}{4}}^{10} (z = 3) = (\binom{10}{3}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{3} \cdot {(\frac{3}{4})}^{7} \approx 25 %

F: "Mindestens 3 Personen erhalten eine Flasche der Sorte D."

n = 10

z \geq k = 3

p

(Treffer)

= P

(Sorte D)

= \frac{1}{4}

P (F) = P_{\frac{1}{4}}^{10} (z \geq 3) =

Schritt einblenden / ausblenden

= 1 - P_{\frac{1}{4}}^{10} (z \leq 2)

= 1 - 0, 52559

(Wert wird im stoch. Tafelwerk abgelesen)

\approx 47, 4 %

G: "3 aufeinander folgende Personen erhalten eine Flasche der Sorte D, die restlichen Personen erhalten Flaschen anderer Sorten."

n = 10

k = 3

p

(Treffer)

= P

(Sorte D)

= \frac{1}{4}

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Es gibt 8 verschieden Reihenfolgen für die 3 Personen die die Flasche mit der Sorte D bekommen:

\begin{matrix} 1^{\circ} : & | & D & D & D & | & \bar{D} & \bar{D} & \bar{D} & \bar{D} & \bar{D} & \bar{D} & \bar{D} \\ 2^{\circ} : & \bar{D} & | & D & D & D & | & \bar{D} & \bar{D} & \bar{D} & \bar{D} & \bar{D} & \bar{D} \\ 3^{\circ} : & \bar{D} & \bar{D} & | & D & D & D & | & \bar{D} & \bar{D} & \bar{D} & \bar{D} & \bar{D} \\ ⋮ \\ ⋮ \\ 8^{\circ} : & \bar{D} & \bar{D} & \bar{D} & \bar{D} & \bar{D} & \bar{D} & \bar{D} & | & D & D & D & | \end{matrix}

P (G) = {(\frac{1}{4})}^{3} \cdot {(\frac{3}{4})}^{7} \cdot 8 \approx 1, 7 %

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Teilaufgabe 4b

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Themen dieser Aufgabe:

Binomialverteilung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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