Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2a (6 BE)

Gegeben ist zusätzlich die Funktion

h : x \mapsto (- 4 x - 2) \cdot e^{- 2 x}

mit Definitionsbereich

D_{h} = ℝ

und zugehörigem Graph

G_{h}

Begründen Sie anhand der Funktionsterme von

g

und

h

, dass man

G_{h}

erhält, indem man

G_{g}

an der

y

-Achse spiegelt. Zeichnen Sie

G_{h}

in die Abbildung ein.
Geben Sie die Gleichung der Wendetangente von

G_{h}

an.

Lösung zu Teilaufgabe 2a

Erläuterungen zum Entstehen der Funktionsgraphen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

h (x) = (- 4 x - 2) \cdot e^{- 2 x}, D_{h} = ℝ

g (x) = (4 x - 2) \cdot e^{2 x}

- x

g

einsetzen:

g (- x) = (4 (- x) - 2) \cdot e^{2 (- x)} = (- 4 x - 2) \cdot e^{- 2 x} = h (x)

Schritt einblenden / ausblenden

Symmetrieverhalten

Die Beziehung

g (- x) = h (x)

bedeutet, dass der Wert von

h

x

gleich groß ist wie der Wert von

g

- x

, und das für alle

x

aus

ℝ

.

Das heißt, dass rechts vom Ursprung (

x \geq 0

) der Graph der Funktion

h (x)

genauso aussieht wie der Graph der Funktion

g (x)

links vom Ursprung (

x \leq 0

) und umgekehrt.

\Rightarrow G_{h}

entsteht durch Spiegelung von

G_{g}

an der

y

-Achse.

Skizze

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Wendetangente

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w_{g} : y = - \frac{4}{e} \cdot x - \frac{6}{e}

Schritt einblenden / ausblenden

Wendetangente

Die Wendetangente

w_{h}

entsteht durch Spiegelung der Wendetangente

w_{g}

an der

y

-Achse. Die Steigung der Geraden

w_{g}

(m = \frac{4}{e})

ist gleich der Steigung der Geraden

w_{g}

mit Vorzeichenwechsel. Der

y

-Abschnittspunkt

(t = - \frac{6}{e})

bleibt gleich da er auf der

y

-Achse liegt.

w_{h} : y = \frac{4}{e} \cdot x - \frac{6}{e}

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

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Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Teilaufgabe 3c

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Erläuterungen zum Entstehen der Funktionsgraphen

Skizze

Wendetangente

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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