Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1a (5 BE)

Die Abbildung zeigt den Graphen

G_{g}

der Funktion

g : x \mapsto (4 x - 2) \cdot e^{2 x}

mit dem Definitionsbereich

D_{g} = ℝ

Berechnen Sie die Nullstellen von

g

G_{g}

besitzt genau einen Tiefpunkt (Nachweis nicht erforderlich).
Berechnen Sie dessen Koordinaten. [Zur Kontrolle:

g^{'} (x) = 8 x e^{2 x}

]

Lösung zu Teilaufgabe 1a

Nullstellen einer Funktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

g (x) = (4 x - 2) \cdot e^{2 x}

Funktion Null setzen:

g (x) = 0

(4 x - 2) \cdot e^{2 x} = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Wertebereich der Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion

e^{x}

ist auf ganz

ℝ

positiv, d.h.:

e^{x} > 0

für alle

x \in ℝ

Das Produkt

(4 x - 2) e^{2 x}

kann also nur Null werden, wenn

4 x - 2 = 0

ist.

4 x - 2 = 0

\Rightarrow x^{N} = \frac{1}{2}

Lage von Extrempunkten ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

g^{'} (x) = {[(4 x - 2) \cdot e^{2 x}]}^{'}

Schritt einblenden / ausblenden

Produktregel der Differenzialrechnung

f (x) = g (x) \cdot h (x) \Rightarrow f^{'} (x) = g^{'} (x) \cdot h (x) + g (x) \cdot h^{'} (x)

Hier ist

g (x) = 4 x - 2

und

h (x) = e^{2 x}

\Rightarrow g^{'} (x) = 4

\Rightarrow h^{'} (x) = 2 \cdot e^{2 x}

(siehe Kettenregel)

= 4 e^{2 x} + (4 x - 2) \cdot {(e^{2 x})}^{'}

Schritt einblenden / ausblenden

Kettenregel der Differenzialrechnung

f (x) = g (h (x)) \Rightarrow f^{'} (x) = g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x)

Für die Exponentialfunktion gilt:

{[e^{f (x)}]}^{'} = e^{f (x)} \cdot f^{'} (x)

In unserem Fall also:

{[e^{2 x)}]}^{'} = e^{2 x} \cdot 2

= 4 e^{2 x} + (4 x - 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2

= e^{2 x} \cdot (4 + 8 x - 4)

= 8 x e^{2 x}

Erste Ableitung Null setzen:

g^{'} (x) = 8 x e^{2 x} = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Wertebereich der Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion

e^{x}

ist auf ganz

ℝ

positiv, d.h.:

e^{x} > 0

für alle

x \in ℝ

Das Produkt

8 x \cdot e^{2 x}

kann nur Null werden, wenn

x = 0

ist.

\Rightarrow x^{E} = 0

\Rightarrow y^{E} = g (x^{E}) = g (0) = (4 \cdot 0 - 2) \cdot \underset{= 1}{\underset{︸}{e^{2 \cdot 0}}} = - 2

Der gesuchte Tiefpunkt ist

(0 | - 2)

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Teilaufgabe 3c

Lösung als Video:

Lösung als Video

Themen dieser Aufgabe:

Nullstellen einer Funktion

Lage von Extrempunkten ermitteln

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!