Abitur 2008 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II

Die Abbildung zeigt den Graphen

G_{g}

der Funktion

g : x \mapsto (4 x - 2) \cdot e^{2 x}

mit dem Definitionsbereich

D_{g} = ℝ

Teilaufgabe 1a (5 BE)

Berechnen Sie die Nullstellen von

g

G_{g}

besitzt genau einen Tiefpunkt (Nachweis nicht erforderlich).
Berechnen Sie dessen Koordinaten. [Zur Kontrolle:

g^{'} (x) = 8 x e^{2 x}

]

Teilaufgabe 1b (9 BE)

Weisen Sie nach, dass

G_{g}

genau einen Wendepunkt besitzt, und bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente

w

. Tragen Sie diese in obige Abbildung ein. [Zur Kontrolle:

w : y = - \frac{4}{e} x - \frac{6}{e}

]

Teilaufgabe 1c (5 BE)

Gegeben ist die Integralfunktion

I : x \mapsto \int_{0}^{x} g (t) d t

mit

x \in ℝ

.
Für verschiedene Werte von

x

wird jeweils das Vorzeichen von

I (x)

betrachtet. Was kann hierüber ohne Rechnung im Bereich

0 < x \leq 0, 5

ausgesagt werden, was im Bereich

x > 0, 5

? Begründen Sie Ihre Antwort, ohne eine integralfreie Darstellung von

I

zu verwenden.

Gegeben ist zusätzlich die Funktion

h : x \mapsto (- 4 x - 2) \cdot e^{- 2 x}

mit Definitionsbereich

D_{h} = ℝ

und zugehörigem Graph

G_{h}

Teilaufgabe 2a (6 BE)

Begründen Sie anhand der Funktionsterme von

g

und

h

, dass man

G_{h}

erhält, indem man

G_{g}

an der

y

-Achse spiegelt. Zeichnen Sie

G_{h}

in die Abbildung ein.
Geben Sie die Gleichung der Wendetangente von

G_{h}

an.

Teilaufgabe 2b (5 BE)

Die Funktion

G : x \mapsto (2 x - 2) \cdot e^{2 x}

mit

D_{G} = ℝ

ist eine Stammfunktion von

g

(Nachweis nicht erforderlich). Die Schnittpunkte der Graphen

G_{g}

bzw.

G_{h}

mit der

x

-Achse werden mit

N

bzw.

M

bezeichnet.
Berechnen Sie den Inhalt

A

des Flächenstücks, das von der Strecke

[M N]

sowie den Graphen

G_{g}

und

G_{h}

eingeschlossen wird.
(Hinweis:

G_{g}

und

G_{h}

schneiden sich nur auf der

y

-Achse.)

Betrachtet wird nun die Schar der in

ℝ

definierten Funktionen

f_{a} : x \mapsto (2 a x - 2) \cdot e^{a x}

mit

a \in ℝ ∖ {0}

Teilaufgabe 3a (3 BE)

Zeigen Sie, dass die Funktionen

g

und

h

Funktionen der Schar sind, indem Sie die zugehörigen Parameterwerte

a

angeben.
Weisen Sie nach, dass alle Graphen der Schar die

y

-Achse im selben Punkt schneiden.

Teilaufgabe 3b (3 BE)

Jede Funktion der Schar hat genau eine Wendestelle und zwar bei

x = - \frac{1}{a}

(Nachweis nicht erforderlich). Zeigen Sie, dass alle Wendepunkte auf einer Parallelen

p

zur

x

-Achse liegen, und geben Sie die Gleichung von

p

an.

Teilaufgabe 3c (4 BE)

Die Wendetangente jedes Graphen der Schar schließt mit den Koordinatenachsen ein rechtwinkliges Dreieck ein. Für bestimmte Werte von

a

ist dieses Dreieck gleichschenklig.
Beschreiben Sie einen Weg, um diese Werte von

a

rechnerisch zu ermitteln (Rechnungen nicht erforderlich).

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Teilaufgabe 3c

Lösung als Video:

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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