Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1e (7 BE)

Die Funktion

F : x \mapsto 4 \ln (x^{2} + 4)

mit

D_{F} = ℝ

ist Stammfunktion von

f

(Nachweis nicht erforderlich).

Der Graph von

f

und der Graph der Umkehrfunktion

g

schließen im ersten Quadranten ein Flächenstück ein. Berechnen Sie den Inhalt

A

dieses Flächenstücks.

Lösung zu Teilaufgabe 1e

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

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f (x) = 8 \cdot \frac{x}{x^{2} + 4}, D_{f} \in ℝ

F (x) = 4 \cdot \ln (x^{2} + 4), D_{F} \in ℝ

Flächeninhalt

A

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Bestimmtes Integral

Die eingeschlossene Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

G_{f}

und

G_{g}

ist gleich dem Integral der Differenzfunktion

(f - g) (x)

. Die Integrationsgrenzen sind die

x

-Koordinaten der Schnittpunkte zwischen den zwei Funktionen.

Bei der Differenz wird die "kleinere" Funktion (hier die Umkehrfunktion) von der "größeren" Funktion abgezogen.

A = \int_{0}^{2} (f - g) (x) d x

Schritt einblenden / ausblenden

Umkehrfunktion

Der Graph

G_{g}

der Umkehrfunktion

g

ensteht durch Spiegelung des Graphen

G_{f}

der Funktion

f

an der Winkelhalbierenden

y = x

.

Die Fläche zwischen den zwei Funktionsgraphen ist also gleich 2 mal die Fläche zwischen dem Graphen

G_{f}

und der Geraden

y = x

= 2 \cdot \int_{0}^{2} (f (x) - x) d x

Schritt einblenden / ausblenden

Stammfunktion

F

ist Stammfunktion zu

f

.

Eine Stammfunktion von

x

ist

\frac{x^{2}}{2}

= 2 \cdot {[F (x) - \frac{x^{2}}{2}]}_{0}^{2}

= 2 \cdot {[4 \cdot \ln (x^{2} + 4) - \frac{x^{2}}{2}]}_{0}^{2}

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

dann gilt:

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

= 2 \cdot [(4 \ln 8 - 2) - (4 \ln 4 - 0)]

= 2 \cdot (4 \ln 8 - 4 \ln 4 - 2)

\approx 1, 54

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Lösungen zu:

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Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

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Themen dieser Aufgabe:

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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