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Abitur 2008 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I

Gegeben ist die Funktion f : x ↦ 8 x x 2 + 4 mit dem Definitionsbereich D f = ℝ . Ihr Graph wird mit G f bezeichnet.
Teilaufgabe 1a  (5 BE)
Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von G f sowie das Verhalten von f an den Rändern des Definitionsbereichs und geben Sie die Nullstelle von f an.

Teilaufgabe 1b  (7 BE)
Bestimmen Sie Lage und Art der Extrempunkte von G f .

[Teilergebnis: Hochpunkt ( 2 | 2 ) ]

Teilaufgabe 1c  (5 BE)
Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an G f im Ursprung.
Berechnen Sie f ( 1 ) sowie f ( 6 ) und skizzieren Sie den Graphen G f
unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse im Bereich - 6 ≤ x ≤ 6 .

Teilaufgabe 1d  (3 BE)
Begründen Sie, dass f im Intervall [ - 2 ; 2 ] umkehrbar ist. Tragen Sie den Graphen der zugehörigen Umkehrfunktion g in das Koordinatensystem von Teilaufgabe 1c ein.

Die Funktion F : x ↦ 4 ln ( x 2 + 4 ) mit D F = ℝ ist Stammfunktion von f (Nachweis nicht erforderlich).
Teilaufgabe 1e  (7 BE)
Der Graph von f und der Graph der Umkehrfunktion g schließen im ersten Quadranten ein Flächenstück ein. Berechnen Sie den Inhalt A dieses Flächenstücks.

Unmittelbar nach der einmaligen, kurzzeitigen Einleitung von Abwasser in einen See kommt es zu einem Absinken des Sauerstoffgehalts im See. Da die Abwasserbelastung nicht zu hoch ist, führt die Selbstreinigung des Sees schließlich wieder zu einer Erhöhung des Sauerstoffgehalts.
Die Funktion h : x ↦ 8 - f ( x ) , D h = ℝ 0 + , beschreibt näherungsweise den Sauerstoffgehalt des Sees an der Einleitungsstelle. Dabei ist x die Anzahl der seit Einleitung des Abwassers vergangenen Tage, h ( x ) die Maßzahl des Sauerstoffgehalts in mg l .
Die Abbildung veranschaulicht den Verlauf des Graphen von h .
Teilaufgabe 2a  (4 BE)
Beschreiben Sie, wie der Graph von h aus dem Graphen von f hervorgeht. Nach wie vielen Tagen erreicht der Sauerstoffgehalt seinen kleinsten Wert und wie hoch ist dieser?

Teilaufgabe 2b  (5 BE)
Berechnen Sie, wann der Sauerstoffgehalt wieder auf 95 % des ursprünglichen Wertes angestiegen ist.

Teilaufgabe 2c  (4 BE)
Der mittlere Sauerstoffgehalt (in mg l ) an der Einleitungsstelle ist für einen Zeitraum von 20 Tagen nach Einleitung des Abwassers gegeben durch 1 20 ∫ 0 20 h ( x ) d x . Bestimmen Sie damit den mittleren Sauerstoffgehalt für diesen Zeitraum.

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