Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1c (5 BE)

Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an

G_{f}

im Ursprung.
Berechnen Sie

f (1)

sowie

f (6)

und skizzieren Sie den Graphen

G_{f}

unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse im Bereich

- 6 \leq x \leq 6

Lösung zu Teilaufgabe 1c

Lage eines Punktes

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

f (x) = 8 \cdot \frac{x}{x^{2} + 4}, D_{f} \in ℝ

f^{'} (x) = 8 \cdot \frac{4 - x^{2}}{(x^{2} + 4)^{2}}

(siehe Teilaufgabe 1b)

f (1) = 8 \cdot \frac{1}{1^{2} + 4} = \frac{8}{5} = 1, 6

f (6) = 8 \cdot \frac{6}{6^{2} + 4} = \frac{48}{40} = \frac{6}{5} = 1, 2

Tangentengleichung ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Steigung

m

der Tangente

t

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Erste Ableitung

Die Steigung der Tangente in einem Punkt

x_{0}

ist gleich dem Wert der ersten Ableitung im Punkt

x_{0}

m = f^{'} (0) = 8 \cdot \frac{4 - 0^{2}}{(0^{2} + 4)^{2}} = 8 \cdot \frac{4}{16} = 2

f (0) = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Gleichung der Tangente

Die Gleichung der Tangente im Punkt

x_{0}

ist gegeben durch:

t : y = (x - x_{0}) \cdot f^{'} (x_{0}) + f (x_{0})

In diesem Fall ist

x_{0} = 0, f (0) = 0

und

f^{'} (0) = 2

. Somit ist die Gleichung der Tangente gleich:

t : y = (x - 0) \cdot 2 + 0 = 2 x

\Rightarrow t : y = 2 x

Skizze

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Teilaufgabe 1a

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Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

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Lage eines Punktes

Tangentengleichung ermitteln

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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