Lösung Abitur Bayern 2007 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2a (8 BE)

Ein kreiszylindrischer Becher, der zum Teil mit Wasser gefüllt ist, rotiert mit konstanter Rotationsgeschwindigkeit um seine Symmetrieachse. Die Oberfläche der Flüssigkeit ist eine Drehfläche, die durch Rotation einer Parabel entsteht. Die Symmetrieachse der Parabel fällt dabei mit der Symmetrieachse des Bechers zusammen.

Das Koordinatensystem ist so gewählt, dass die zu Abb. 1 gehörende Parabel die Gleichung

y = \frac{H}{R^{2}} x^{2}

besitzt.

Betrachten Sie zunächst Abb. 1 und zeigen Sie mit Hilfe einer geeigneten Integration, dass folgende Aussage gilt: Das Volumen des Wassers ist im Bereich

0 \leq y \leq H

halb so groß wie das Volumen eines Kreiszylinders mit Höhe H und Grundkreisradius R.

Lösung zu Teilaufgabe 2a

Rotationskörper

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Volumen Kreiszylinder:

Höhe =

H

Grundfläche = Fläche eines Kreises mit Radius

R

R^{2} π

\Rightarrow V_{Z y l} = R^{2} π \cdot H

Volumen des Wassers im Bereich

0 \leq y \leq H

:

Zunächst ist eine Umformung notwendig: Umkehrfunktion von

f : y = \frac{H}{R^{2}} x^{2}

bilden

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Das gesuchte Volumen des Wassers (blau) entspricht dem Volumen des Zylinders minus dem Volumen des Paraboloids (gelb).

Um das Volumen des Paraboloids zu bestimmen, spiegeln wir die Parabel

f : y = \frac{H}{R^{2}} x^{2}

an der Winkelhalbierenden (Umkehrfunktion

f^{- 1}

bilden).

Nun können wir das Volumen des Paraboloids, das durch Drehung des Graphen der Funktion

f^{- 1}

entsteht, ausrechnen mit der folgenden Formel:

V = π \cdot \int_{0}^{H} {(f^{- 1})}^{2} d x

y = \frac{H}{R^{2}} x^{2} |

nach

x

auflösen

\Rightarrow x^{2} = \frac{R^{2}}{H} y \Rightarrow x = \sqrt{\frac{R^{2}}{H} y} |

x

und

y

vertauschen

\Rightarrow f^{- 1} : y = \sqrt{\frac{R^{2}}{H} x}

Das Volumen des Rotationskörpers (welches durch Drehung der Funktion

f^{- 1}

entsteht) ist gegeben durch (siehe Formelsammlung):

V = π \cdot \int_{0}^{H} {(f^{- 1} (x))}^{2} d x

= π \cdot \int_{0}^{H} \frac{R^{2}}{H} x d x

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist F eine Stammfunktion von f dann gilt:

\int_{a}^{b} f (x) ⅆ x = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

= π \cdot {[\frac{R^{2}}{H} \cdot \frac{x^{2}}{2}]}_{0}^{H} = π \cdot (\frac{R^{2} H^{2}}{2 H} - 0) = \frac{1}{2} \cdot R^{2} π H

\Rightarrow

Das Volumen des Wassers ist gleich dem Volumen des Rotationskörpers und halb so groß wie das Volumen des Zylinders.

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Rotationskörper

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