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Lösung Abitur Bayern 2007 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II
Teilaufgabe 2a (8 BE)
Ein kreiszylindrischer Becher, der zum Teil mit Wasser gefüllt ist, rotiert mit konstanter Rotationsgeschwindigkeit um seine Symmetrieachse. Die Oberfläche der Flüssigkeit ist eine Drehfläche, die durch Rotation einer Parabel entsteht. Die Symmetrieachse der Parabel fällt dabei mit der Symmetrieachse des Bechers zusammen.
Das Koordinatensystem ist so gewählt, dass die zu Abb. 1 gehörende Parabel die Gleichung besitzt.

Das Koordinatensystem ist so gewählt, dass die zu Abb. 1 gehörende Parabel die Gleichung besitzt.
Betrachten Sie zunächst Abb. 1 und zeigen Sie mit Hilfe einer geeigneten Integration, dass folgende Aussage gilt: Das Volumen des Wassers ist im Bereich halb so groß wie das Volumen eines Kreiszylinders mit Höhe H und Grundkreisradius R.
Lösung zu Teilaufgabe 2a
Rotationskörper
Volumen Kreiszylinder:
Höhe =
Grundfläche = Fläche eines Kreises mit Radius =
Volumen des Wassers im Bereich :
Zunächst ist eine Umformung notwendig: Umkehrfunktion von bilden
Höhe =
Grundfläche = Fläche eines Kreises mit Radius =
Volumen des Wassers im Bereich :
Zunächst ist eine Umformung notwendig: Umkehrfunktion von bilden
Schritt einblenden / ausblenden
nach auflösen
und vertauschen
Das Volumen des Rotationskörpers (welches durch Drehung der Funktion entsteht) ist gegeben durch (siehe Formelsammlung):
und vertauschen
Das Volumen des Rotationskörpers (welches durch Drehung der Funktion entsteht) ist gegeben durch (siehe Formelsammlung):
Schritt einblenden / ausblenden
Das Volumen des Wassers ist gleich dem Volumen des Rotationskörpers und halb so groß wie das Volumen des Zylinders.
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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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