Abitur 2007 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

Gegeben ist die Funktion

f : x \mapsto \frac{x}{\ln x}

mit dem maximalen Definitionsbereich

D_{f} = ℝ^{+} ∖ {1}

. Der Graph von

f

wird mit

G_{f}

bezeichnet.

Teilaufgabe 1a (4 BE)

Untersuchen Sie das Verhalten von

f

an den Rändern des Definitionsbereichs.
(Hinweis:

lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0

darf ohne Beweis verwendet werden.)

Teilaufgabe 1b (6 BE)

Bestimmen Sie das Monotonieverhalten von

f

sowie Art und Lage des Extrempunktes

E

von

G_{f}

.
[Zur Kontrolle:

f^{'} (x) = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^{2}}

]

Teilaufgabe 1c (6 BE)

Zeigen Sie, dass

G_{f}

einen Wendepunkt

W

besitzt, und berechnen Sie dessen Koordinaten.

Teilaufgabe 1d (6 BE)

Berechnen Sie

lim_{x \to 0^{+}} f^{'} (x)

und skizzieren Sie

G_{f}

unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem.

Teilaufgabe 1e (6 BE)

Zeigen Sie:

\int_{1}^{2} \frac{x}{x - 1} d x = \infty

.
Was folgt für

\int_{1}^{2} f (x) d x

? Begründen Sie Ihre Antwort. Dabei dürfen Sie ohne Nachweis verwenden, dass für

x > 1

gilt:

\ln x < x - 1

Ein kreiszylindrischer Becher, der zum Teil mit Wasser gefüllt ist, rotiert mit konstanter Rotationsgeschwindigkeit um seine Symmetrieachse. Die Oberfläche der Flüssigkeit ist eine Drehfläche, die durch Rotation einer Parabel entsteht. Die Symmetrieachse der Parabel fällt dabei mit der Symmetrieachse des Bechers zusammen.

Das Koordinatensystem ist so gewählt, dass die zu Abb. 1 gehörende Parabel die Gleichung

y = \frac{H}{R^{2}} x^{2}

besitzt.

Teilaufgabe 2a (8 BE)

Betrachten Sie zunächst Abb. 1 und zeigen Sie mit Hilfe einer geeigneten Integration, dass folgende Aussage gilt: Das Volumen des Wassers ist im Bereich

0 \leq y \leq H

halb so groß wie das Volumen eines Kreiszylinders mit Höhe H und Grundkreisradius R.

Teilaufgabe 2b (4 BE)

Die Rotationsgeschwindigkeit wird nun verringert. Die Wasseroberfläche nimmt dabei die in Abb. 2 dargestellte Form an.
Zeigen Sie unter Verwendung der Aussage aus Teilaufgabe 2a, dass der obere Rand des Wassers so weit absinkt, wie der Scheitel ansteigt, dass also gilt: