Lösung Abitur Bayern 2007 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2a (7 BE)

F : x \mapsto x + \ln \frac{3 - x}{x + 3}

ist Stammfunktion von f im maximalen Definitionsbereich

D_{F}

(Nachweis nicht erforderlich).
Zeigen Sie, dass

D_{F} =] - 3; 3 [

der maximale Definitionsbereich von F ist. Berechnen Sie den Inhalt A der Fläche, die

G_{f}

mit der x-Achse einschließt, auf zwei Dezimalen genau.
[Zur Kontrolle:

A \approx 0, 83

]

Lösung zu Teilaufgabe 2a

Definitionsbereich bestimmen

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F : x \mapsto x + \ln \frac{3 - x}{x + 3}

Schritt einblenden / ausblenden

Definitionsbereich der Logarithmusfunktion

Die Logarithmusfunktion

\ln x

ist nur für positives Argument (

x > 0

) definiert.
Daher muss untersucht werden wann der Bruch

\frac{3 - x}{x + 3} > 0

ist.

\frac{3 - x}{x + 3} > 0

Schritt einblenden / ausblenden

Rechenweg

Die zu untersuchende Funktion

\frac{3 - x}{x + 3}

ist ein Bruch, also muss man eine Falluntersuchung machen.

1.Fall: Nenner und Zähler sind beide positiv.

\begin{matrix} 3 - x > 0 & und & x + 3 > 0 \\ ⇓ & ⇓ \\ x < 3 & und & x > - 3 & \Rightarrow & x \in] - 3; 3 [ \end{matrix}

2.Fall: Nenner und Zähler sind beide negativ.

\begin{matrix} 3 - x < 0 & und & x + 3 < 0 \\ ⇓ & ⇓ \\ x > 3 & und & x < - 3 & \Rightarrow & keine Lösung \end{matrix}

\Rightarrow

Der Bruch ist für

- 3 < x < 3

immer positiv.

Bemerkung: Dass ein Bruch im Nenner nicht Null sein darf (

x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq - 3

) wurde mit dem größer Zeichen ">" bereits berücksichtigt.

\Rightarrow x \in] - 3; 3 [\Rightarrow D_{F} =] - 3; 3 [

Flächenberechnung

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A = \int_{\sqrt{- 3}}^{\sqrt{3}} f (x) d x \begin{matrix} = \\ ↑ \\ Achsensymmetrie \end{matrix} 2 \cdot \int_{0}^{\sqrt{3}} f (x) d x =

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist F eine Stammfunktion von f dann gilt:

\int_{a}^{b} f (x) ⅆ x = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

= 2 \cdot [F]_{0}^{\sqrt{3}} = 2 \cdot {\sqrt{3} + \ln \frac{3 - \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 3} - 0 - \underset{0}{\underset{︸}{\ln \frac{3 - 0}{0 + 3}}}} \approx 0, 83

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Definitionsbereich bestimmen

Flächenberechnung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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