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Abitur 2007 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II
Gegeben ist die Funktion mit maximalem Definitionsbereich . Ihr Graph wird mit bezeichnet.
Teilaufgabe 1a (4 BE)
Geben Sie den maximalen Definitionsbereich , die Nullstellen von f und das Symmetrieverhalten von an.
Teilaufgabe 1b (6 BE)
Untersuchen Sie das Verhalten von f an den Rändern des Definitionsbereichs und geben Sie die Asymptoten von an.
Teilaufgabe 1c (6 BE)
Bestimmen Sie Art und Lage des relativen Extrempunkts E von .
[Zur Kontrolle: ]
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Teilaufgabe 1d (6 BE)
Berechnen Sie f(2,5) sowie f(4) und skizzieren Sie den Graphen und seine Asymptoten unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse im Bereich .
Teilaufgabe 2a (7 BE)
ist Stammfunktion von f im maximalen Definitionsbereich (Nachweis nicht erforderlich).
Zeigen Sie, dass der maximale Definitionsbereich von F ist. Berechnen Sie den Inhalt A der Fläche, die mit der x-Achse einschließt, auf zwei Dezimalen genau.
[Zur Kontrolle: ]
Zeigen Sie, dass der maximale Definitionsbereich von F ist. Berechnen Sie den Inhalt A der Fläche, die mit der x-Achse einschließt, auf zwei Dezimalen genau.
[Zur Kontrolle: ]
Teilaufgabe 2b (4 BE)
Begründen Sie, beispielsweise mit Hilfe von Flächenbetrachtungen, dass die Integralfunktion im Intervall drei Nullstellen hat.
(Hinweis: Die Nullstellen müssen nicht berechnet werden.)
(Hinweis: Die Nullstellen müssen nicht berechnet werden.)
Betrachtet werden nun Funktionen der Form mit und im jeweils maximalen Definitionsbereich. Ihre Graphen werden mit bezeichnet. Beispielsweise erhält man für a = 3 und b = 9 obige Funktion f.
Teilaufgabe 3a (3 BE)
Was muss für b gelten, damit in ganz definiert ist?
Geben Sie die Zahl der Nullstellen in Abhängigkeit von a an.
Geben Sie die Zahl der Nullstellen in Abhängigkeit von a an.
Teilaufgabe 3b (4 BE)
Einer der drei abgebildeten Graphen gehört zum Fall .
Geben Sie an, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen für den Fall nicht in Betracht kommen.
Geben Sie an, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen für den Fall nicht in Betracht kommen.

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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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