Abitur 2007 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II

Gegeben ist die Funktion

f : x \mapsto \frac{x^{2} - 3}{x^{2} - 9}

mit maximalem Definitionsbereich

D_{f}

. Ihr Graph wird mit

G_{f}

bezeichnet.

Teilaufgabe 1a (4 BE)

Geben Sie den maximalen Definitionsbereich

D_{f}

, die Nullstellen von f und das Symmetrieverhalten von

G_{f}

an.

Teilaufgabe 1b (6 BE)

Untersuchen Sie das Verhalten von f an den Rändern des Definitionsbereichs und geben Sie die Asymptoten von

G_{f}

an.

Teilaufgabe 1c (6 BE)

Bestimmen Sie Art und Lage des relativen Extrempunkts E von

G_{f}

.
[Zur Kontrolle:

E (0 | \frac{1}{3})

]

Teilaufgabe 1d (6 BE)

Berechnen Sie f(2,5) sowie f(4) und skizzieren Sie den Graphen

G_{f}

und seine Asymptoten unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse im Bereich

- 7 \leq x \leq 7

Teilaufgabe 2a (7 BE)

F : x \mapsto x + \ln \frac{3 - x}{x + 3}

ist Stammfunktion von f im maximalen Definitionsbereich

D_{F}

(Nachweis nicht erforderlich).
Zeigen Sie, dass

D_{F} =] - 3; 3 [

der maximale Definitionsbereich von F ist. Berechnen Sie den Inhalt A der Fläche, die

G_{f}

mit der x-Achse einschließt, auf zwei Dezimalen genau.
[Zur Kontrolle:

A \approx 0, 83

]

Teilaufgabe 2b (4 BE)

Begründen Sie, beispielsweise mit Hilfe von Flächenbetrachtungen, dass die Integralfunktion

F_{0} : x \mapsto \int_{0}^{x} f (t) d t

im Intervall

] - 3; 3 [

drei Nullstellen hat.
(Hinweis: Die Nullstellen müssen nicht berechnet werden.)

Betrachtet werden nun Funktionen der Form

f_{a, b} : x \mapsto \frac{x^{2} - a}{x^{2} - b}

mit

a, b \in ℝ

und

a \neq b

im jeweils maximalen Definitionsbereich. Ihre Graphen werden mit

G_{a, b}

bezeichnet. Beispielsweise erhält man für a = 3 und b = 9 obige Funktion f.

Teilaufgabe 3a (3 BE)

Was muss für b gelten, damit

f_{a, b}

in ganz

ℝ

definiert ist?
Geben Sie die Zahl der Nullstellen in Abhängigkeit von a an.

Teilaufgabe 3b (4 BE)

Einer der drei abgebildeten Graphen

G_{a, b}

gehört zum Fall

0 < b < a

.
Geben Sie an, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen für den Fall

0 < b < a

nicht in Betracht kommen.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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