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Lösung Abitur Bayern 2006 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe
Teilaufgabe 1f  (8 BE)
Die Funktion   G : x ↦ x ⋅ g ( x ) + ln ⁡ ( x + 1 )   ist für   x > 0   eine Stammfunktion von g (Nachweis nicht erforderlich).
Die Tangenten in P und Q schließen mit den Geraden   x = 1   und   x = 3   ein Parallelogramm ein. Der Graph von g teilt dieses Parallelogramm in zwei Teilflächen.
Wie viel Prozent der Parallelogrammfläche nimmt die Teilfläche unterhalb von   G g   ein?
 
Lösung zu Teilaufgabe 1f
Flächenberechnung



Fläche des Parallelogramms (grün):   F □ = 2 ⋅ 1 2 ⋅ 2 ⋅ 1 = 2
Fläche die der Graph   G g   zusammen mit der x-Achse zwichen 1 und 3 einschließt (blau):
∫ 1 3 g ( x ) ⅆ x = [ G ( x ) ] 1 3 = G ( 3 ) − G ( 1 ) =
= ( 3 ⋅ ln ⁡ 4 6 + ln ⁡ 4 ) − ( 1 ⋅ 0 + ln ⁡ 2 ) = 3 ⋅ ln ⁡ 2 3 + ln ⁡ 2 ≈ 0.52
Die Teilfläche unterhalb von   G g   (gelb):   1 − 0.52 = 0.48
Die Teilfläche nimmt   0.48 2 ⋅ 100 % = 24 %   der Parallelogrammfläche ein.
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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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