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Abitur 2006 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I
Die untenstehende Abbildung zeigt den Graphen einer rationalen Funktion f der Form mit dem Definitionsbereich .
Teilaufgabe 1a (2 BE)
Einziger Schnittpunkt von mit der x-Achse ist , außerdem verläuft durch den Punkt . Bestimmen Sie den Funktionsterm von f.
[Ergebnis: ]
[Ergebnis: ]
Gegeben ist nun zusätzlich die Funktion mit maximalem Definitionsbereich . Ihr Graph wird mit bezeichnet.
Teilaufgabe 1b (7 BE)
Begründen Sie anhand des Verlaufs von , dass gilt: .
Untersuchen Sia das Verhalten von an den Rändern von .
Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von an.
Untersuchen Sia das Verhalten von an den Rändern von .
Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von an.
Teilaufgabe 1c (7 BE)
Ermitteln Sie die Nullstelle von g und untersuchen Sie mit Hilfe der ersten Ableitung das Monotonieverhalten von g.
[Zur Kontrolle: ]
[Zur Kontrolle: ]
Teilaufgabe 1d (9 BE)
Bestimmen Sie die Stelle , an der die Funktion f und g in der ersten Ableitung übereinstimmen.
Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an in sowie die Gleichung der Tangente an in .
Berechnen Sie die Nullstelle der Tangente in P.
[Ergebnis für die Gleichung der Tangente in P: ]
Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an in sowie die Gleichung der Tangente an in .
Berechnen Sie die Nullstelle der Tangente in P.
[Ergebnis für die Gleichung der Tangente in P: ]
Teilaufgabe 1e (7 BE)
Berechnen Sie , , und . Zeichnen Sie den Graphen sowie seine Asymptoten unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in die untenstehende Abbildung ein. Tragen Sie auch die Tangenten in P und Q ein.

Die Funktion ist für eine Stammfunktion von g (Nachweis nicht erforderlich).
Teilaufgabe 1f (8 BE)
Die Tangenten in P und Q schließen mit den Geraden und ein Parallelogramm ein. Der Graph von g teilt dieses Parallelogramm in zwei Teilflächen.
Wie viel Prozent der Parallelogrammfläche nimmt die Teilfläche unterhalb von ein?
Wie viel Prozent der Parallelogrammfläche nimmt die Teilfläche unterhalb von ein?
Lösungen zu:
Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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