Lösung Abitur Bayern 2006 Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 4b (6 BE)

Bestimmen Sie das Volumen V der Pyramide ABCS.

Lösung zu Teilaufgabe 4b

Volumen einer Pyramide

Das Volumen einer Pyramide ist gleich

\frac{1}{3} \cdot G \cdot h

.
G ist die Grundfläche, h die Höhe.

G = 2 \cdot \underset{Dreiecksfläche A M B}{\underset{︸}{(\frac{1}{2} \cdot \bar{A M} \cdot \bar{M B})}} = \bar{A M} \cdot \bar{M B}

h = \bar{B S}

\vec{A M} = \vec{M} - \vec{A} = (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 6 \\ 2 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

\vec{M B} = \vec{B} - \vec{M} = (\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ - 4 \end{matrix})

\vec{B S} = \vec{S} - \vec{B} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 4 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 6 \\ - 6 \\ - 6 \end{matrix})

\Rightarrow V_{{P y r .}_{A, B, C, S}} = \frac{1}{3} \cdot \bar{A M} \cdot \bar{M B} \cdot \bar{B S} =

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \Rightarrow | \vec{a} | = \bar{a} = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} = \sqrt{{\begin{matrix} a_{1} \end{matrix}}^{2} + {\begin{matrix} a_{2} \end{matrix}}^{2} + {\begin{matrix} a_{3} \end{matrix}}^{2}}

= \frac{1}{3} \cdot \sqrt{{(\begin{matrix} - 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})}^{2}} \cdot \sqrt{{(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ - 4 \end{matrix})}^{2}} \cdot \sqrt{{(\begin{matrix} - 6 \\ - 6 \\ - 6 \end{matrix})}^{2}} = \frac{1}{3} \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{6} \cdot 6 \sqrt{3} = 8 \cdot 2 \cdot 3 = 48

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Themen dieser Aufgabe:

Volumen einer Pyramide

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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