Lösung Abitur Bayern 2006 Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3a (6 BE)

Zeigen Sie, dass der Schnittpunkt M der Geraden g mit der Ebene H die Koordinaten

(4 | 4 | 6)

hat, und ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C, der sich als Bildpunkt von A bei einer Spiegelung an der Ebene H ergibt.
[Zur Kontrolle:

C (2 | 6 | 6)

]

Lösung zu Teilaufgabe 3a

Schnitt Ebene und Gerade

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Gesucht ist

g \cap H

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Schnitt Ebene und Gerade

Schneidet eine Gerade g eine Ebene H, dann erfüllt die Geradengleichung für ein bestimmten Wert von

λ

die Normalenform der Ebene H. Man setzt g in H ein.

[(\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ 6 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = 0

\Rightarrow - 1 \cdot (8 - λ) + 1 \cdot (0 + λ) + 0 \cdot (6 + 0) = 0

\Rightarrow - 8 + 2 λ = 0 \Rightarrow λ = 4

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

Ist der Wert von

λ

bestimmt, dann wird dieser in die Geradengleichung eingesetzt. Man erhält damit die Koordinaten des Schnittpunktes.

g_{λ = 4} : \vec{x} = (\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ 6 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 8 - 4 \\ 0 + 4 \\ 6 + 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 6 \end{matrix})

Der Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebene H ist

M (4 | 4 | 6)

Spiegelpunkt

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Der Punkt A wird an der Ebene H gespiegelt. Da die Gerade g senkrecht zur Ebene H steht und

A \in g

liegt der Spiegelungspunkt C auf g.

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Vektoraddition

Die Summe zweier Vektoren

\vec{a} + \vec{b}

kann man graphisch interpretieren indem man den Startpunkt des zweiten Vektors an den Endpunkt des ersten Vektors anschließt. Der Pfeil vom Startpunkt des ersten Vektors bis zum Endpunkt des zweiten Vektors repräsentiert den Ergebnisvektor:

\Rightarrow \vec{O C} = \vec{O A} + 2 \cdot \vec{A M} = \vec{O A} + 2 \cdot (\vec{M} - \vec{A}) = (\begin{matrix} 6 \\ 2 \\ 6 \end{matrix}) + 2 \cdot [(\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 6 \\ 2 \\ 6 \end{matrix})] = (\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ 6 \end{matrix})

Der Bildpunkt von A ist

C (2 | 6 | 6)

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Lösungen zu:

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Teilaufgabe 5a

Teilaufgabe 5b

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Themen dieser Aufgabe:

Schnitt Ebene und Gerade

Spiegelpunkt

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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