Lösung Abitur Bayern 2006 Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2 (8 BE)

Die Ebene E enthält den Punkt B und die Gerade g; die Ebene H enthält ebenfalls den Punkt B, steht aber auf g senkrecht. Bestimmen Sie für die beiden Ebenen je eine Gleichung in Normalenform.
[mögliche Ergebnisse:

E : x_{1} + x_{2} + x_{3} - 14 = 0; H : x_{1} - x_{2} = 0

]

Lösung zu Teilaufgabe 2

Ebene aus Punkt und Gerade

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Eine Ebene ist durch die Angabe von einem Ortsvektor und 2 Richtungsvektoren gegeben.

Ortsvektor der Gerade g = Ortsvektor der Ebene E =

(\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ 6 \end{matrix})

Richtungsvektor der Gerade g = erster Richtungsvektor der Ebene E =

(\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

Zweiter Richtungsvektor der Ebene E = Punkt B - Ortsvektor =

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ 6 \\ - 4 \end{matrix})

\Rightarrow E_{B, g} : \vec{x} = (\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ 6 \end{matrix}) + α \cdot \underset{\vec{a}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})}} + β \cdot \underset{\vec{b}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} - 2 \\ 6 \\ - 4 \end{matrix})}}

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Vektorprodukt

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \det (\begin{matrix} \begin{matrix} a_{2} & b_{2} \\ a_{3} & b_{3} \end{matrix} \end{matrix}) \\ \det (\begin{matrix} \begin{matrix} a_{3} & b_{3} \\ a_{1} & b_{1} \end{matrix} \end{matrix}) \\ \det (\begin{matrix} \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} \end{matrix}) \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{matrix})

In diesem Fall ist es leicht zu erkennen, dass:

a_{1} + a_{2} + a_{3} = b_{1} + b_{2} + b_{3} = 0

Normalenvektor der Ebene E:

\vec{n_{E}} = \vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 2 \\ 6 \\ - 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

Normalenform der Ebene E:

\vec{x} \cdot \vec{n_{E}} = \vec{x} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = 14 \Leftrightarrow x_{1} + x_{2} + x_{3} = 14

Ebene aus Punkt und Normalenvektor

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Die Ebene H steht senkrecht auf g, d.h. der Richtungsvektor von g ist gleich dem Normalenvektor von H.

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Normalenform einer Ebene

Die Parameterform einer Ebene

E

lautet:

\vec{x} = \vec{x_{0}} + α \cdot \vec{a} + β \cdot \vec{b}

,

wobei

\vec{x_{0}}

der Ortsvektor ist.

Die Normalenform einer Ebene

E

entsteht durch Skalarprodukt mit dem Normalenvektor

\vec{n_{E}}

. Dieser steht senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

der Ebene

E

. Das Skalarprodukt zwischen 2 Vektoren, die senkrecht zueinander stehen, ist gleich

0

.

Es folgt also:

E : \vec{x} \cdot \vec{n_{E}} = (\vec{x_{0}} + α \cdot \vec{a} + β \cdot \vec{b}) \cdot \vec{n_{E}}

= \vec{x_{0}} \cdot \vec{n_{E}} + α \cdot \underset{= 0}{\underset{︸}{\vec{a} \cdot \vec{n_{E}}}} + β \cdot \underset{= 0}{\underset{︸}{\vec{b} \cdot \vec{n_{E}}}}

= \vec{x_{0}} \cdot \vec{n_{E}}

Die Regel lautet:

E_{\vec{p}, \vec{n}} : \vec{x} \cdot \vec{n} = \vec{p} \cdot \vec{n}

\Rightarrow H : \vec{x} \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = \underset{B}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 2 \end{matrix})}} \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = 0 \Leftrightarrow - x_{1} + x_{2} = 0 \Leftrightarrow x_{1} - x_{2} = 0

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Themen dieser Aufgabe:

Ebene aus Punkt und Gerade

Ebene aus Punkt und Normalenvektor

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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