Abitur 2005 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

Gegeben ist die Funktion

f : x \mapsto ln \frac{- 1}{1 + x}

mit dem maximal möglichen Definitionsbereich D. Der Graph von f wird mit

G_{f}

bezeichnet.

Teilaufgabe 1a (4 BE)

Bestimmen Sie D, die Nullstelle von f sowie das Verhalten von f an den Rändern von D.

Teilaufgabe 1b (4 BE)

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f.

Teilaufgabe 1c (5 BE)

Warum besitzt f eine Umkehrfunktion? Geben Sie die Definitionsmenge der Umkehrfunktion

f^{- 1}

an und ermitteln Sie den Funktionsterm

f^{- 1} (x)

Teilaufgabe 1d (5 BE)

Skizzieren Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse die Graphen der Funktionen f und

f^{- 1}

in ein Koordinatensystem. Tragen Sie dazu auch alle Asymptoten sowie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ein.

Teilaufgabe 1e (4 BE)

Der Graph

G_{f}

, die x-Achse und die Gerade

x = - 1

schließen im zweiten Quadranten ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück mit endlichem Inhalt ein. Berechnen Sie den Inhalt dieses Flächenstücks.

Es sei g eine in R differenzierbare Funktion mit dem Graphen

G_{g}

. Die Abbildung zeigt den Graphen

G_{u}

der in

ℝ ∖ {- 2, 1}

definierten Funktion

u : x \mapsto u (x) = \frac{1}{g (x)}

. Die x-Achse und die Geraden x = – 2 und x = 1 sind Asymptoten von

G_{u}

Zur Bearbeitung der folgenden Teilaufgaben können benötigte Werte aus der Abbildung näherungsweise abgelesen werden.

Teilaufgabe 2a (5 BE)

Geben Sie die Nullstellen von g an. Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von

G_{u}

und

G_{g}

Teilaufgabe 2b (5 BE)

Begründen Sie, dass

G_{g}

x = - 1

und

x = 0

waagrechte Tangenten hat.

Teilaufgabe 2c (5 BE)

Zeigen Sie, dass für alle Schnittpunkte von

G_{u}

und

G_{g}

gilt:

g' (x) = - u' (x)

. Ermitteln Sie g'(-1), indem Sie u'(-1) möglichst genau aus obiger Abbildung ablesen. (Entsprechende Hilfslinien sind einzuzeichnen.)

Teilaufgabe 2d (3 BE)

Geben Sie g(0) an. Skizzieren Sie in obige Abbildung unter Berücksichtigung der gewonnenen Ergebnisse einen möglichen Graphen

G_{g}

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

Lösung als Video:

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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