Lösung Abitur Bayern 2004 Mathematik LK Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3b (6 BE)

Seit kurzem steht ein Bluttest zur Verfügung, mit dem der Erreger bereits vor Ausbruch der Krankheit sicher erkannt werden kann. Da dieser Test sehr kostspielig ist, werden die Reisenden nach ihrer Rückkehr in Gruppen von je 6 Personen eingeteilt. Dann wird zunächst jeweils ein Gemisch aus dem Blut der Personen einer Gruppe hergestellt; anschließend werden diese Gemische untersucht. Nur bei denjenigen Gruppen, bei denen der Erreger gefunden wird, wird anschließend das Blut jeder Einzelperson getestet.

Im Folgenden soll der Erwartungswert für die Anzahl der benötigten Bluttests exemplarisch für den Fall berechnet werden, dass genau 3 der Reisenden in dem Flugzeug infiziert sind.

Die Zufallsgröße X bezeichne die Anzahl der Gruppen, bei denen der Erreger bei der Untersuchung der Blutgemische gefunden wird. Sie hat folgende Verteilung:

$x$	$1$	$2$	$3$
$P (X = x)$	$0, 0014$	$?$	$0, 8768$

Weisen Sie nach, dass die beiden angegebenen (gerundeten) Wahrscheinlichkeiten richtig sind, und berechnen Sie den dritten Wert.

Lösung zu Teilaufgabe 3b

Wahrscheinlichkeit

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120 Reisende in Gruppen von je 6 Personen

120 : 6 = 20

→ 20 Gruppen

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P (X = 1) = \frac{(\begin{matrix} 20 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 120 \\ 3 \end{matrix})} = \frac{20 · 20}{280840} = 0, 0014

P (X = 2) = \frac{(\begin{matrix} 20 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}) \cdot 2}{(\begin{matrix} 120 \\ 3 \end{matrix})} = \frac{190 · 6 · 15 · 2}{280840} = 0, 1218

P (X = 3) = \frac{(\begin{matrix} 20 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 120 \\ 3 \end{matrix})} = \frac{1140 · 6 · 6 · 6}{280840} = 0, 8768

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
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