Lösung Abitur Bayern 2004 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2a (8 BE)

Das nebenstehende Diagramm zeigt, wie die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs von der Zeit abhängt; der zugehörige Funktionsterm für

0 \leq t \leq 10

ist

v (t) = 7 t · e^{- 0, 1 t}

.
Dabei bezeichnet v die Maßzahl der in Metern pro Sekunde gemessenen Geschwindigkeit, t die Maßzahl der in Sekunden gemessenen Zeit.
Der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen, der t-Achse und der Geraden t =

t_{0}

entspricht dem während der ersten

t_{0}

Sekunden zurückgelegten Weg (in Metern).

Berechnen Sie den Weg, den das Fahrzeug in den ersten 10 Sekunden zurücklegt.

Lösung zu Teilaufgabe 2a

Berechnung des Weges

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v (t) = 7 t · e^{- 0, 1 t}; 0 \leq t \leq 10

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Partielle Integration

Partielle Integration:

\int f · g = F · g - \int F · g^{'}

Beispiel:

\int x · e^{- αx} dx

f = e^{- αx} \Rightarrow F = - \frac{1}{α} e^{- αx}

g = x →

g^{'}

= 1

\int x · e^{- αx} dx = - \frac{1}{α} e^{- αx} · x - \int - \frac{1}{α} e^{- αx} · 1 dx

= - \frac{1}{α} e^{- αx} · x - \frac{1}{α^{2}} e^{- αx} + c

= - \frac{1}{α} e^{- αx} · (x + \frac{1}{α}) + c

Aufgabe hier:

\int 7 t · e^{- 0, 1 t} dt = 7 · [- \frac{1}{0, 1} e^{- 0, 1 t} · (t + \frac{1}{0, 1})]

= 7 · [- \frac{1}{0, 1} e^{- 0, 1 t} · (t + 10)]

\int_{0}^{10} v (t) dt = 7 · {[- \frac{1}{0, 1} (e^{- 0, 1 t} (t + 10))]}_{0}^{10}

- 70 e^{- 1} · (20) + 70 · 1 · 10

= 700 - \frac{1400}{e} \approx 185 m

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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