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Abitur 2004 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II
Gegeben ist die Schar der Funktionen mit der maximalen Definitionsmenge und . bezeichnet den Graphen von .
Teilaufgabe 1a (6 BE)
Bestimmen Sie für k < 0 und k > 0 jeweils die Definitionsmenge . Untersuchen Sie für das Verhalten von für und . Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten an.
Teilaufgabe 1b (5 BE)
Zeigen Sie, dass gilt: .
Begründen Sie, dass alle Graphen einen gemeinsamen Tiefpunkt besitzen.
Begründen Sie, dass alle Graphen einen gemeinsamen Tiefpunkt besitzen.
Teilaufgabe 1c (7 BE)
Skizzieren Sie , und in ein gemeinsames Koordinatensystem. Zeichnen Sie auch alle vorhandenen Asymptoten ein.
Teilaufgabe 1d (3 BE)
Beschreiben Sie für den Fall k < 0, wie sich die Lage der waagrechten Asymptote von für und jeweils verändert.
Teilaufgabe 1e (6 BE)
Bestimmen Sie k zunächst so, dass durch den Punkt P(1|2) verläuft.
Zeigen Sie dann, dass durch jeden beliebigen Punkt, der nicht auf einer der Koordinatenachsen liegt, genau ein Graph verläuft.
Zeigen Sie dann, dass durch jeden beliebigen Punkt, der nicht auf einer der Koordinatenachsen liegt, genau ein Graph verläuft.
Das nebenstehende Diagramm zeigt, wie die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs von der Zeit abhängt; der zugehörige Funktionsterm für ist . Dabei bezeichnet v die Maßzahl der in Metern pro Sekunde gemessenen Geschwindigkeit, t die Maßzahl der in Sekunden gemessenen Zeit. Der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen, der t-Achse und der Geraden t = entspricht dem während der ersten Sekunden zurückgelegten Weg (in Metern). | ![]() |
Teilaufgabe 2a (8 BE)
Berechnen Sie den Weg, den das Fahrzeug in den ersten 10 Sekunden zurücklegt.
Ab dem Zeitpunkt t = 10 wird das Fahrzeug bis zum Stillstand abgebremst. Dabei wird die Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der Zeit durch eine lineare Funktion beschrieben.
Teilaufgabe 2b (5 BE)
Ermitteln Sie die Steigung dieser linearen Funktion, wenn der Bremsweg 122,5 Meter beträgt.
Lösungen zu:
Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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