Abitur 2004 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

Gegeben ist die Schar der Funktionen

f_{k} : x \mapsto \frac{x^{2}}{1 - {kx}^{2}}

mit der maximalen Definitionsmenge

D_{k}

und

k \in R

G_{k}

bezeichnet den Graphen von

f_{k}

Teilaufgabe 1a (6 BE)

Bestimmen Sie für k < 0 und k > 0 jeweils die Definitionsmenge

D_{k}

. Untersuchen Sie für

k \neq 0

das Verhalten von

f_{k}

für

x \to + \infty

und

x \to - \infty

. Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten an.

Teilaufgabe 1b (5 BE)

Zeigen Sie, dass gilt:

f_{k}^{'} (x) = \frac{2 x}{{(1 - {kx}^{2})}^{2}}

.
Begründen Sie, dass alle Graphen

G_{k}

einen gemeinsamen Tiefpunkt besitzen.

Teilaufgabe 1c (7 BE)

Skizzieren Sie

G_{- 1}

G_{0}

und

G_{1}

in ein gemeinsames Koordinatensystem. Zeichnen Sie auch alle vorhandenen Asymptoten ein.

Teilaufgabe 1d (3 BE)

Beschreiben Sie für den Fall k < 0, wie sich die Lage der waagrechten Asymptote von

G_{k}

für

k \to - \infty

und

k \to 0

jeweils verändert.

Teilaufgabe 1e (6 BE)

Bestimmen Sie k zunächst so, dass

G_{k}

durch den Punkt P(1|2) verläuft.
Zeigen Sie dann, dass durch jeden beliebigen Punkt, der nicht auf einer der Koordinatenachsen liegt, genau ein Graph

G_{k}

verläuft.

Das nebenstehende Diagramm zeigt, wie die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs von der Zeit abhängt; der zugehörige Funktionsterm für

0 \leq t \leq 10

ist

v (t) = 7 t · e^{- 0, 1 t}

.
Dabei bezeichnet v die Maßzahl der in Metern pro Sekunde gemessenen Geschwindigkeit, t die Maßzahl der in Sekunden gemessenen Zeit.
Der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen, der t-Achse und der Geraden t =

t_{0}

entspricht dem während der ersten

t_{0}

Sekunden zurückgelegten Weg (in Metern).

Teilaufgabe 2a (8 BE)

Berechnen Sie den Weg, den das Fahrzeug in den ersten 10 Sekunden zurücklegt.

Ab dem Zeitpunkt t = 10 wird das Fahrzeug bis zum Stillstand abgebremst. Dabei wird die Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der Zeit durch eine lineare Funktion beschrieben.

Teilaufgabe 2b (5 BE)

Ermitteln Sie die Steigung dieser linearen Funktion, wenn der Bremsweg 122,5 Meter beträgt.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Lösung als Video:

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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