Lösung Abitur Bayern 2002 Mathematik LK Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 4a (7 BE)

Die Firma Booky will eine Fernsehwerbung starten, wenn ihr Bekanntheitsgrad unter 60 % liegt. Die Entscheidung soll auf der Grundlage einer Umfrage unter 1200 zufällig ausgewählten Personen getroffen werden. Benützen Sie zur Berechnung die Normalverteilung als Näherung.

Bestimmen Sie eine Entscheidungsregel mit einem möglichst kleinen Annahmebereich für die Einleitung der Werbekampagne, bei der die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Werbekampagne irrtümlich unterlassen wird, höchstens 5 % ist.

Lösung zu Teilaufgabe 4a

Hypothesentest - Annahmebereich und Ablehnungsbereich

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1200 Personen werden befragt -

p_{0} = 60 %

P_{0, 6}^{1200} (Z \geq k + 1) \leq 0, 05

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Hypothesentest

Betrachtung des Gegenereignisses:

P_{p}^{n} (Z \geq k + 1) = 1 - P_{p}^{n} (Z \leq k)

\Rightarrow 1 - P_{0, 6}^{1200} (Z \leq k) \leq 0, 05

\Rightarrow P_{0, 6}^{1200} (Z \leq k) \geq 0, 95

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Normalverteilung

Näherung durch die Normalverteilung:

P_{p}^{n} (Z \leq k) = Φ (\frac{k + 0, 5 - n · p}{\sqrt{n · p · q}})

P_{p}^{n} (Z \leq k) = Φ (\frac{k + 0, 5 - 1200 · 0, 6}{\sqrt{1200 · 0, 6 · 0, 4}}) \geq 0, 95

Den Quantilen des stochastischen Tafelwerkes entnimmt man

0, 95 = Φ (1, 645)

\Rightarrow Φ (\frac{k + 0, 5 - 1200 · 0, 6}{\sqrt{1200 · 0, 6 · 0, 4}}) \geq Φ (1, 645)

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Erläuterung

Φ (x)

ist stetig und streng monoton steigend. Daraus folgt:

Φ (a) \geq Φ (b) \Rightarrow a \geq b

\Rightarrow \frac{k + 0, 5 - 1200 · 0, 6}{\sqrt{1200 · 0, 6 · 0, 4}} \geq 1, 645

\Rightarrow k \geq 747, 4

\Rightarrow k \geq 748

Aus der Forderung eines minimalen Annahmebereiches ergibt sich:

k = 748

Somit ist der Annahmebereich A = {0, 1, 2, ..., 748}.

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Themen dieser Aufgabe:

Hypothesentest - Annahmebereich und Ablehnungsbereich

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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