Lösung Abitur Bayern 2002 Mathematik LK Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 5b (4 BE)

Begründen Sie unter Zuhilfenahme der Symmetrieeigenschaft von

φ

, dass für alle

x \in ℝ

gilt:

Φ (- x) = 1 - Φ (x)

Lösung zu Teilaufgabe 5b

Normalverteilung

Zeichnung: Verteilungsdichte

φ (t)

der Normalverteilung

Φ (x)

ist per Definition gegeben als die Integralfunktion:

Φ (x) = \int_{- \infty}^{x} φ (t) dt

Also gilt:

Φ (- x) = \int_{- \infty}^{- x} φ (t) dt

Aus der Achsensymmetrie der Funktion

φ (t)

folgt:

\int_{- \infty}^{- x} φ (t) dt = \int_{x}^{+ \infty} φ (t) dt

= (lim_{t \to + \infty} Φ (t)) - Φ (x)

Schritt einblenden / ausblenden

Normalverteilung

lim_{t \to + \infty} Φ (t) = 1

; siehe Aufgabe 5a

= 1 - Φ (x)

Also gilt für alle

x \in ℝ :

Φ (- x) = 1 - Φ (x)

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Themen dieser Aufgabe:

Normalverteilung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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