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Abitur 2001 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II
Gegeben ist die Schar von Funktionen 
und 
und maximalem Definitionsbereich 
.
Der Graph von
wird mit 
bezeichnet.
und und maximalem Definitionsbereich . Der Graph von
wird mit bezeichnet.
Teilaufgabe 1a (6 BE)
Bestimmen Sie 
und das Verhalten von 
an den Rändern des Definitionsbereichs.
Geben Sie alle Asymptoten von
an.
und das Verhalten von an den Rändern des Definitionsbereichs. Geben Sie alle Asymptoten von
an.
Teilaufgabe 1b (2 BE)
Berechnen Sie die Schnittpunkte von 
mit den Koordinatenachsen.
mit den Koordinatenachsen.
Teilaufgabe 2a (9 BE)
Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte von 
in Abhängigkeit von k.
[Zur Kontrolle:
]
in Abhängigkeit von k.[Zur Kontrolle:
]
Teilaufgabe 2b (6 BE)
Berechnen Sie 
. Zeichnen Sie nun mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse den Graphen 
im Intervall [-6;6] in ein Koordinatensystem ein. (Querformat, Abstand zwischen Ursprung und unterer Blattkante: 11 cm, Längeneinheit 2 cm)
. Zeichnen Sie nun mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse den Graphen im Intervall [-6;6] in ein Koordinatensystem ein. (Querformat, Abstand zwischen Ursprung und unterer Blattkante: 11 cm, Längeneinheit 2 cm)
Teilaufgabe 2c (6 BE)
Zeigen Sie, dass die Extrempunkte aller Graphen 
auf der Kurve C mit der Gleichung y 
liegen. Bestimmen Sie den Schnittpunkt dieser Kurve mit der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten und zeichnen Sie die Kurve C für x > 0 in das Koordinatensystem von Aufgabe 2b ein.
auf der Kurve C mit der Gleichung y liegen. Bestimmen Sie den Schnittpunkt dieser Kurve mit der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten und zeichnen Sie die Kurve C für x > 0 in das Koordinatensystem von Aufgabe 2b ein.
Im Folgenden wird nun die Funktion betrachtet.
Teilaufgabe 3a (4 BE)
Zeigen Sie, dass die Funktion F:
für x > -1 eine Stammfunktion von 
ist.
Teilaufgabe 3b (7 BE)
Berechnen Sie den Inhalt J der Fläche, die von 
, der Kurve C der Extrempunkte und der Geraden mit der Gleichung x = 1 eingeschlossen wird, auf 2 Dezimalen genau.
, der Kurve C der Extrempunkte und der Geraden mit der Gleichung x = 1 eingeschlossen wird, auf 2 Dezimalen genau.
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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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