Lösung Abitur Bayern 2000 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2c (8 BE)

Begründen Sie, dass

10^{2} Π + \int_{0}^{9} {(1 + \frac{1}{9} x^{2})}^{2} · Π dx

das Volumen des Werkstücks angibt und berechnen Sie dieses.

Lösung zu Teilaufgabe 2c

Volumen eines Rotationskörpers

V = \underset{\underset{V_{1}}{︸}}{10^{2} Π} + \underset{\underset{V_{2}}{︸}}{\int_{0}^{9} {(1 + \frac{1}{9} x^{2})}^{2} · Π} dx

Rotation um y-Achse

Das Werkstück besteht aus zwei Teilwerkstücken.
Teilwerkstück 1 ist ein Zylinder.

V_{1} - Volumen des Zylinders

V_{1} = r^{2} · Π · h

V_{1} = 10^{2} · Π · 1 = 10^{2} · Π

Das Teilwerkstück 2 entsteht durch Rotation von

G_{h}

um die y-Achse. Es nimmt das Volumen

V_{2}

ein.

Mit

V = Π · \int_{a}^{b} {[f (x)]}^{2} dx

kann das Volumen von Körpern bei Rotation um die x-Achse berechnet werden.

G_{h^{- 1}}

nimmt bei Rotation um die x-Achse das gleiche Volumen

V_{2}

ein.

V_{2} = \int_{0}^{9} {(1 + \frac{1}{9} x^{2})}^{2} · Π dx

V = 10^{2} Π + \int_{0}^{9} {(1 + \frac{1}{9} x^{2})}^{2} · Π dx

V = 10^{2} Π + \int_{0}^{9} (1 + \frac{2}{9} x^{2} + \frac{1}{81} x^{4}) · Π dx

Schritt einblenden / ausblenden

Stammfunktion

f : y = 1 + \frac{2}{9} x^{2} + \frac{1}{81} x^{4}

Stammfunktion:

F : y = x + \frac{2}{27} x^{3} + \frac{1}{405} x^{5}

F (9) = 9 + \frac{2}{27} 9^{3} + \frac{1}{405} 9^{5}

= 208,8

F (0) = 0 + \frac{2}{27} 0^{3} + \frac{1}{405} 0^{5}

= 0

V = 10^{2} Π + [F (9) - F (0)] · Π

V = Π · [10^{2} + [F (9) - F (0)]]

V =

Π ·

(100 + 208,8) = 308,8

Π

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Teilaufgabe 2c

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Themen dieser Aufgabe:

Volumen eines Rotationskörpers

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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