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Abitur 2000 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

Gegeben ist die Funktion ${\displaystyle f:x\mapsto \frac{4\left(1-lnx\right)}{{(lnx)}^2}}$ mit ${\displaystyle D_f}$= ] 1 ; ${\displaystyle \infty }$ [.
Der Graph von f wird mit ${\displaystyle G_f}$ bezeichnet.

Teilaufgabe 1a  (3 BE)

Geben Sie die Nullstelle von f an und untersuchen Sie das Verhalten von f an den Rändern von ${\displaystyle D_f}$.

Teilaufgabe 1b  (6 BE)

Bestimmen Sie die Monotoniebereiche von f und zeigen Sie, dass ${\displaystyle G_f}$ genau einen Extrempunkt E besitzt. Geben Sie auch Art und Koordinaten von E an.
[zur Kontrolle:  ${\displaystyle f\text{'}(x)=\frac{4\left(lnx-2\right)}{x{(lnx)}^3}}$]

Teilaufgabe 1c  (4 BE)

Berechnen Sie f(2) und f(12) und zeichnen Sie ${\displaystyle G_f}$ unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse (Längeneinheit 1 cm).

Teilaufgabe 1d  (3 BE)

Begründen Sie ohne Verwendung der 2. Ableitung von f, dass ${\displaystyle G_f}$ mindestens einen Wendepunkt besitzen muss.

Teilaufgabe 1e  (3 BE)

Weisen Sie nach, dass durch ${\displaystyle F(x)=-\frac{4x}{lnx}+4e}$ eine integralfreie Darstellung der Funktion ${\displaystyle x\mapsto \underset{e}{\overset{x}{\int }}f(t)dt}$ für x > 1 gegeben ist.

Teilaufgabe 1f  (3 BE)

${\displaystyle G_f}$ und die x-Achse begrenzen im vierten Quadranten ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück. Untersuchen Sie, ob dieses einen endlichen Inhalt besitzt.

In nebenstehender Figur ist der Querschnitt eines bezüglich der y-Achse rotationssymmetrischen, massiven Werkstücks gegeben. Ein Teil der Berandung des Querschnitts ist der Graph ${\displaystyle G_h}$ der Funktion ${\displaystyle h:x\mapsto 3\sqrt{x-1}}$ mit x ${\displaystyle \in }$ [1;10].

Teilaufgabe 2a  (6 BE)

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Querschnitts.

Teilaufgabe 2b  (4 BE)

Bestimmen Sie die Gleichung der Umkehrfunktion ${\displaystyle h^{-1}}$ von h und geben Sie den Definitions- und Wertebereich von ${\displaystyle h^{-1}}$ an.

Teilaufgabe 2c  (8 BE)

Begründen Sie, dass ${\displaystyle {10}^2\Pi +\underset{0}{\overset{9}{\int }}{\left(1+\frac{1}{9}{x}^2\right)}^2\text{·}\Pi dx}$ das Volumen des Werkstücks angibt und berechnen Sie dieses.

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