Lösung Abitur Bayern 2000 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3a (5 BE)

Skizzieren Sie einen Anwendungszusammenhang beispielsweise aus den Naturwissenschaften oder der Wirtschaftslehre, in dem eine Funktion der Art

x \mapsto a · e^{bx}

eine wichtige Rolle spielt

(a, b \neq 0)

.
Begründen Sie kurz, ob der Parameter b in dem von Ihnen beschriebenen Anwendungszusammenhang positiv oder negativ ist.
Welche Bedeutung hat der Parameter a?

Lösung zu Teilaufgabe 3a

Anwendungszusammenhang

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y = a · e^{bx}

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Erläuterung

Mathematische Vorbetrachtung:
Verlauf von Funktionen der Form y =

a · e^{bx}

z. B.

y = e^{x}

y = 2 · e^{x}

y = e^{\frac{x}{2}} = {(e^{x})}^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e^{x}}

y = e^{2 x} = {(e^{x})}^{2}

Beispiel: Radioaktiver Zerfall

Zerfallsgesetz:

N (t) = N (0) · e^{- λt}

N(t) - Anzahl von Atomkernen
N(0) - Ausgangsanzahl von Atomkernen

λ

- Zerfallskonstante
t - Zeit

Halbwertszeit T:
Zeit in der die Hälfte der zu Beginn vorhandenen Atome zerfallen sind

N (T) = \frac{N (0)}{2}

\frac{N (0)}{2} = N (0) · e^{- λT} | : N (0)

\frac{1}{2} = e^{- λT} | logarithmieren

\ln \frac{1}{2} = \ln e^{- λT}

\ln 2 = λT

T = \frac{\ln 2}{λ}

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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