Lösung Abitur Bayern 2000 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1a (5 BE)

Gegeben ist die Funktion

f : x \mapsto \frac{4 x}{e^{0, 5 x}}

mit Definitionsbereich

D_{f} = ℝ

G_{f}

bezeichnet den Graphen von f.

Geben Sie die Nullstelle der Funktion an und untersuchen Sie das Verhalten von f an den Grenzen des Definitionsbereichs. Geben Sie die Gleichung der horizontalen Asymptote von

G_{f}

an.

Lösung zu Teilaufgabe 1a

Nullstellen einer Funktion

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Gegeben ist die Funktion

f : x \mapsto \frac{4 x}{e^{0, 5 x}} = 4 x · e^{- \frac{x}{2}}

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Nullstelle:

\Rightarrow y = 0

0 = 4 x · e^{- \frac{x}{2}}

Ein Produkt wird Null, wenn wenigstens einer der Faktoren Null ist.

1.
4x = 0
x = 0

2.

e^{- \frac{x}{2}} \neq 0

für jedes x aus der Definitionsmenge

x^{N} = 0

Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs

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\lim_{x \to + \infty} \underset{\underset{↘ \infty}{︸}}{4 x} · \underset{\underset{↘ 0}{︸}}{e^{- \frac{x}{2}}} = 0

\lim_{x \to - \infty} \underset{\underset{↘ - \infty}{︸}}{4 x} · \underset{\underset{↘ + \infty}{︸}}{e^{- \frac{x}{2}}} = - \infty

Asymptoten bestimmen

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Asymptote: y = 0 (x - Achse)

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Themen dieser Aufgabe:

Nullstellen einer Funktion

Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs

Asymptoten bestimmen

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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