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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 3a

Lösung als Video:

Themen dieser Aufgabe:

Erste und zweite Ableitung einer Funktion ermitteln

Monotonieverhalten einer Funktion

Art von Extrempunkten ermitteln

Krümmungsverhalten einer Funktion

Wendepunkt ermitteln

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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Lösung Abitur Bayern 2000 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1b (10 BE)

Untersuchen Sie das Monotonie- und das Krümmungsverhalten von $G_{f}$ . Ermitteln Sie Lage und Art des Extrempunkts sowie die Lage des Wendepunkts von $G_{f}$ .
[zur Kontrolle: $f' (x) = e^{- 0, 5 x} (4 - 2 x)$ ]

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Lösung als Video

Erste und zweite Ableitung einer Funktion ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

$f (x) = 4 x · e^{- \frac{x}{2}}$

Schritt einblenden / ausblenden

$f' (x) = 4 [e^{- \frac{x}{2}} + x · e^{- \frac{x}{2}} · (- \frac{1}{2})]$
$f' (x) = 4 e^{- \frac{x}{2}} - 2 x · e^{- \frac{x}{2}}$
$f' (x) = (4 - 2 x) · e^{- \frac{x}{2}}$

$f' (x) = (4 - 2 x) · e^{- \frac{x}{2}}$

Schritt einblenden / ausblenden

$f'' (x) = - 2 · e^{- \frac{x}{2}} + (4 - 2 x) · e^{- \frac{x}{2}} · (- \frac{1}{2})$
$f'' (x) = (x - 4) · e^{- \frac{x}{2}}$

Monotonieverhalten einer Funktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

$f^{'} > 0$

Schritt einblenden / ausblenden

$(4 - 2 x) \cdot \underset{> 0 für jedes x}{\underset{︸}{e^{\frac{x}{2}}}} > 0$

$4 - 2 x > 0$
$4 > 2 x$
$2 > x$

streng monoton wachsend für x < 2

$f^{'} < 0$

Schritt einblenden / ausblenden

$(4 - 2 x) \cdot \underset{> 0 für jedes x}{\underset{︸}{e^{\frac{x}{2}}}} < 0$

$4 - 2 x < 0$
$4 < 2 x$
$2 < x$

streng monoton fallend für x > 2

Art von Extrempunkten ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Es existiert ein Vorzeichenwechsel von + nach - in der ersten Ableitung.

$\Rightarrow$ es existiert ein Maximum bei x = 2

$\Rightarrow HP (2 | \frac{8}{e})$

Krümmungsverhalten einer Funktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

$f^{''} > 0$

Schritt einblenden / ausblenden

$(x - 4) \cdot \underset{> 0 für jedes x}{\underset{︸}{e^{\frac{x}{2}}}} > 0$

$x - 4 > 0$
$x > 4$

$\Rightarrow$ konkav für x > 4

$f^{''} < 0$

Schritt einblenden / ausblenden

$(x - 4) \cdot \underset{> 0 für jedes x}{\underset{︸}{e^{\frac{x}{2}}}} < 0$

$x - 4 < 0$
$x < 4$

$\Rightarrow$ konvex für x < 4

Wendepunkt ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Es existiert ein Vorzeichenwechsel in der zweiten Ableitung.

$\Rightarrow$ es existiert ein Wendepunkt bei x = 4

$\Rightarrow WP (4 | \frac{16}{e^{2}})$

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Krümmungsverhalten einer Funktion

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