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Lösung Abitur Bayern 2018 Mathematik Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 2a (4 BE)

Die Polizei führt an der Messstelle eine Geschwindigkeitskontrolle durch.
Bei einer Geschwindigkeit von mehr als 83 km/h liegt ein Tempoverstoß vor.
Vereinfachend soll davon ausgegangen werden, dass die Geschwindigkeit eines vorbeifahrenden Pkw mit einer Wahrscheinlichkeit von $19 %$ größer als 83 km/h ist.

Berechnen Sie die Anzahl der Geschwindigkeitsmessungen, die mindestens durchgeführt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $99 %$ mindestens ein Tempoverstoß erfasst wird.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 2a

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Binomialverteilung

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Text analysieren:

$p ("Tempoverstoß") = 19 % = 0, 19$

"Berechnen Sie die Anzahl der Geschwindigkeitsmessungen .." $\Rightarrow$ $n$ ist gesucht

"...mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $99 %$ ..." $\Rightarrow$ $P > 0, 99$

"... mindestens ein Tempoverstoß ..." $\Rightarrow$ $X \geq 1$

Es muss also gelten:

Schritt einblenden / ausblenden

$P_{0, 19}^{n} (X \geq 1) > 0, 99$

Schritt einblenden / ausblenden

$1 - P_{0, 19}^{n} (X = 0) > 0, 99$ $|$ $- 1$

$- P_{0, 19}^{n} (X = 0) > - 0, 01$ $|$ $\cdot (- 1)$

$P_{0, 19}^{n} (X = 0) < 0, 01$

Schritt einblenden / ausblenden

$(\binom{n}{0}) \cdot 0, 19^{0} \cdot 0, 81^{n} < 0, 01$

$0, 81^{n} < 0, 01$

Schritt einblenden / ausblenden

$n > \frac{\ln (0, 01)}{\ln (0, 81)} \approx 21, 85$

$\Rightarrow$ $n \geq 22$ (Messungen)

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