Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1.3 (5 BE)

Begründen Sie, dass

f

im Intervall

I =] 3; 4 [

genau eine Nullstelle

x_{0}

besitzt. Ermitteln Sie ein Intervall

I_{0} \subset I

der Länge

△ x = 0, 25

, das diese Nullstelle

x_{0}

enthält.

Lösung zu Teilaufgabe 1.3

Nullstellen einer Funktion

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Begründung:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Wenn

f

bei

x = 3

negativ und bei

x = 4

postiv ist, und

f

stetig ist (keine Sprünge), dann muss

G_{f}

die

x

-Achse mindestens einmal schneiden.

1. Da

f (3) = - \frac{17}{8} < 0

f (4) = \frac{27}{10} > 0

und

f

stetig ist, gibt es im Intervall

] 3; 4 [

mindestens eine Nullstelle.

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

G_{f}

noch zusätzlich ab der Stelle

x = 2, 5

streng monoton steigt, kann

G_{f}

die x-Achse nur einmal im Bereich

x \in] 3; 4 [

schneiden.

2. Da

G_{f}

für

x \in [2, 5; \infty [

streng monoton steigend ist (siehe Teilaufgabe 1.1), gibt es genau eine Nullstelle im Intervall

] 3; 4 [

.

Intervall

I_{0} \subset I

ermitteln:

Schritt einblenden / ausblenden

3, 75 - 3, 5 = 0, 25

(

Δ x

)

\begin{matrix} f (3, 5) \approx - 0, 53 < 0 \\ f (3, 75) \approx 0, 84 > 0 \end{matrix}}

\Rightarrow

I_{0} =] 3, 5; 3, 75 [

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Themen dieser Aufgabe:

Nullstellen einer Funktion

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