Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1.2 (4 BE)

Ermitteln Sie die Koordinaten aller Wendepunkte von

G_{f}

auf zwei Nachkommastellen gerundet.

Lösung zu Teilaufgabe 1.2

Wendepunkt ermitteln

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f^{'} (x) = \frac{1}{5} x^{3} - \frac{4}{5} x - \frac{9}{8}

(s. Teilaufgabe 1.1)

Zweite und dritte Ableitung bilden:

Schritt einblenden / ausblenden

Ableitungsregel

Benötigte Ableitungsregeln:

1. Faktorregel:

f (x) = a \cdot u (x)

\Rightarrow

f^{'} (x) = a \cdot u^{'} (x)

2. Ableitung einer Summe:

f (x) = u (x) \pm v (x)

\Rightarrow

f^{'} (x) = u^{'} (x) \pm v^{'} (x)

3. Potenzregel:

f (x) = x^{n}

\Rightarrow

f^{'} (x) = n \cdot x^{n - 1}

f^{''} (x) = \frac{3}{5} x^{2} - \frac{4}{5}

f^{'''} (x) = \frac{6}{5} x

Schritt einblenden / ausblenden

Notwendige Bedingung

Folgende notwendige Bedingung muss für einen Wendepunkt an der Stelle

x^{WP}

erfüllt sein:

f^{''} (x^{WP}) = 0

daher immer der Ansatz:

f^{''} (x) = 0

Zweite Ableitung gleich Null setzen:

f^{''} (x) = 0

\frac{3}{5} x^{2} - \frac{4}{5} = 0

\Rightarrow

x^{2} = \frac{4}{3}

\Rightarrow

x_{1, 2}^{WP} = \pm \sqrt{\frac{4}{3}} \approx \pm 1, 15

Lage der möglichen Wendepunkte:

y_{1}^{WP} = f (1, 15) \approx - 0, 94

\Rightarrow

{WP}_{1} (1, 15 | - 0, 94)

y_{2}^{WP} = f (- 1, 15) \approx 1, 56

\Rightarrow

{WP}_{2} (- 1, 15 | 1, 65)

Schritt einblenden / ausblenden

Wendepunkt

Ist die zweite Ableitung einer Funktion

f

gleich Null an einer Stelle

x^{WP}

, d.h.

f^{''} (x^{WP}) = 0

, und ist die dritte Ableitung ungleich Null an dieser Stelle, d.h.

f^{'''} (x^{WP}) \neq 0

, so liegt ein Wendepunkt an der Stelle

x^{WP}

vor.

Nachweis über die dritte Ableitung:

\begin{matrix} f^{'''} (1, 15) \approx 1, 38 & \neq 0 \\ f^{'''} (- 1, 15) \approx - 1, 38 & \neq 0 \end{matrix}}

\Rightarrow

{WP}_{1}

und

{WP}_{2}

sind Wendepunkte

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Wendepunkt ermitteln

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