Lösung Abitur Bayern 2012 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2.2 (7 BE)

Berechnen Sie, für welche Werte von

a

die Funktion

g_{a}

genau eine Nullstelle besitzt.

Lösung zu Teilaufgabe 2.2

Parameterwerte ermitteln

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g_{a} (x) = \frac{1}{24} (x^{4} + (6 a - 4) x^{3} + (12 a^{2} - 12 a) x^{2})

Schritt einblenden / ausblenden

Nullstellen

Der Ansatz um die Nullstellen (die Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse) zu bestimmen, lautet stets:

f (x) = 0

Die Gleichung muss anschließend nach

x

aufgelöst werden.

g_{a} (x) = 0

\Leftrightarrow

\frac{1}{24} (x^{4} + (6 a - 4) x^{3} + (12 a^{2} - 12 a) x^{2}) = 0

x^{2} (x^{2} + (6 a - 4) x + 12 a^{2} - 12 a) = 0

Schritt einblenden / ausblenden

x^{2} = 0

x^{N} = 0

(doppelte Nullstelle)

x^{2} + (6 a - 4) x + 12 a^{2} - 12 a = 0

Fallunterscheidung:

Schritt einblenden / ausblenden

Fallunterscheidung

Diskriminante

Die Lösungen zu einer Gleichung der Form

a x^{2} + b x + c = 0

lauten stets:

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Der Ausdruck unter Wurzel heißt Diskriminante

D

D = b^{2} - 4 a c

Man unterscheidet drei Fälle:

Die Diskriminante ist negativ: $D < 0$
$\Rightarrow$ Die Gleichung hat keine Lösung

Die Diskriminante ist Null: $D = 0$
$\Rightarrow$ Die Gleichung hat genau eine Lösung

Die Diskriminante ist positiv: $D > 0$
$\Rightarrow$ Die Gleichung hat genau zwei Lösungen

Damit

x = 0

die einzige Nullstelle von

g_{a}

ist, muss bei der Funktion

x^{2} + (6 a - 4) x + 12 a^{2} - 12 a = 0

diese Fallunterscheidung durchgeführt werden.

1. Fall: genau eine Nullstelle

\Rightarrow

Diskriminante gleich Null setzen:

D = 0

(6 a - 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (12 a^{2} - 12 a) = 0

36 a^{2} - 48 a + 16 - 48 a^{2} + 48 a = 0

- 12 a^{2} + 16 = 0

- 12 a^{2} = - 16

a^{2} = \frac{4}{3}

a = \sqrt{\frac{4}{3}}

(negative Lösung ausgeschlossen, da

a \in ℝ^{+}

)

Für

a = \sqrt{\frac{4}{3}}

besitzt die Gleichung genau eine Lösung.

Berechnen dieser Lösung:

x = \frac{- (6 \cdot \sqrt{\frac{4}{3}} - 4) \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1} = \frac{- 6 \cdot \sqrt{\frac{4}{3}} + 4}{2} \approx - 1, 46 \neq 0

\Rightarrow

Der 1. Fall ist nicht möglich

2. Fall: keine Nullstelle

\Rightarrow

Diskriminante kleiner Null setzen:

D < 0

(6 a - 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (12 a^{2} - 12 a) < 0

36 a^{2} - 48 a + 16 - 48 a^{2} + 48 a < 0

- 12 a^{2} + 16 < 0

- 12 a^{2} < - 16

(durch

- 12

teilen und Relationszeichen umdrehen)

a^{2} > \frac{4}{3}

a > \sqrt{\frac{4}{3}}

(negative Lösungen ausgeschlossen, da

a \in ℝ^{+}

)

\Rightarrow

Für

a \in] \sqrt{\frac{4}{3}}; \infty [

hat

g_{a}

genau eine Nullstelle

3. Fall: weitere Nullstellen

Dieser Fall kann ausgeschlossen werden, da somit

x = 0

nicht die einzige Nullstelle wäre.

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