Lösung Abitur Bayern 2012 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1.5 (4 BE)

Zeigen Sie, dass die Gerade

G_{t}

, beschrieben durch die Funktion

t : x \mapsto - \frac{4}{3} x - \frac{2}{3}

mit

D_{t} = ℝ

, Tangente an

G_{f}

im Punkt

P (- 2 | y_{p})

ist.
Zeichnen Sie die Tangente in das vorhandene Koordinatensystem ein.

Lösung zu Teilaufgabe 1.5

Nachweis einer Tangente

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f (x) = \frac{1}{24} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + x^{2}

f^{'} (x) = \frac{1}{6} x^{3} + x^{2} + 2 x

(siehe Aufgabe 1.2)

P (- 2 | 2)

ist Flachpunkt (siehe Aufgabe 1.3)

Schritt einblenden / ausblenden

Eigenschaften einer Tangente

Damit

t

Tangente zu

f

P

ist, muss gelten:

$t$ und $f$ schneiden sich in $P$
$\Rightarrow$ $t (- 2) = f (- 2)$

$t$ und $f$ besitzen in $P$ die gleiche Steigung
$\Rightarrow$ $t^{'} (- 2) = f^{'} (- 2)$

Prüfen, ob Funktionswerte übereinstimmen:

f (- 2) = 2

(da

P (- 2 | 2)

auf

G_{f}

)

t (- 2) = - \frac{4}{3} \cdot (- 2) - \frac{2}{3} = 2

\Rightarrow

t (- 2) = f (- 2)

Prüfen, ob die Werte für die Steigung ünereinstimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Tangentensteigung

Die Steigung

m

der Tangente

t

an dem Graphen

G_{f}

einer Funktion

f (x)

in einem Punkt

S (x_{S} | y_{S})

ist gleich dem Wert der ersten Ableitung der Funktion an der Stelle

x_{S}

m = f^{'} (x_{S})

m = t^{'} (x) = - \frac{4}{3}

f^{'} (- 2) = \frac{1}{6} \cdot (- 2)^{3} + \cdot (- 2)^{2} + 2 \cdot (- 2) = - \frac{4}{3}

\Rightarrow

t^{'} (- 2) = f^{'} (- 2)

\Rightarrow

t

ist Tangente zu

f

P

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