Lösung Abitur Bayern 2011 G9 Abitur Mathematik GK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3b (7 BE)

Der Graph

G_{f}

schließt mit den durch die Gleichungen

y = 4

bzw.

x = u

(u < 0)

bestimmten Geraden im I. und II. Quadranten ein Flächenstück mit dem Inhalt

A (u)

ein. Bestimmen Sie

A (u)

.
Ermitteln Sie

lim_{u \to - \infty} A (u)

und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.

Lösung zu Teilaufgabe 3b

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

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f (x) = (e^{x} - 2)^{2}

F (x) = 0, 5 e^{2 x} - 4 e^{x} + 4 x

ist Stammfunktion von

f (x)

(siehe Teilaufgabe 3a)

y = 4

S (2 \ln 2 | 4)

ist der Schnittpunkt von

G_{f}

mit der Geraden

y = 4

(siehe Teilaufgabe 1c)

Schritt einblenden / ausblenden

Bestimmtes Integral

Die Fläche die

G_{f}

mit der Geraden

y = 4

einschließt ist gleich der Fläche, die die Gerade

y = 4

mit der

x

-Achse einschließt minus die Fläche die

G_{f}

mit der

x

-Achse einschließt.

Man berechnet also das bestimmte Integral von

4 - f (x)

.

Die Integrationsgrenzen sind

u

(da

x = u

die Fläche im II. Quadranten begrenzt) und

2 \ln 2

, die

x

-Koordinate des Schnittpunktes

S

zwischen

G_{f}

und

y = 4

.
Um die späteren Rechnungen zu erleichtern wird

2 \ln 2

als

\ln 4

geschrieben.

A (u) = \int_{u}^{\ln 4} [4 - f (x)] d x

Schritt einblenden / ausblenden

Integral einer Summe

Für das Integral einer Summe gilt:

\int_{a}^{b} [f (x) + g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x

A (u) = \int_{u}^{\ln 4} 4 d x - \int_{u}^{\ln 4} f (x) d x

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, so gilt:

\int_{a}^{b} f (x) d x = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

In diesem Fall ist

4 x

eine Stammfunktion von

4

und

F (x) = 0, 5 e^{2 x} - 4 e^{x} + 4 x

eine Stammfunktion von

f (x)

A (u) = [4 x]_{u}^{\ln 4} - {[0, 5 e^{2 x} - 4 e^{x} + 4 x]}_{u}^{\ln 4}

A (u) = (4 \ln 4 - 4 u) - (0, 5 \underset{16}{\underset{︸}{e^{2 \ln 4}}} - 4 \underset{4}{\underset{︸}{e^{\ln 4}}} + 4 \ln 4 - 0, 5 e^{2 u} + 4 e^{u} - 4 u)

A (u) = 4 \ln 4 - 4 u - 8 + 16 - 4 \ln 4 + 0, 5 e^{2 u} - 4 e^{u} + 4 u

\Rightarrow A (u) = 0, 5 e^{2 u} - 4 e^{u} + 8

Grenzwert bestimmen

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lim_{u \to - \infty} A (u) = lim_{u \to - \infty} 0, 5 \underset{\to 0}{\underset{︸}{e^{2 u}}} - 4 \underset{\to 0}{\underset{︸}{e^{u}}} + 8 = 8

Geometrische Interpretation:

Die Fläche die

G_{f}

mit der Geraden

y = 4

zwischen

- \infty

und

\ln 4

einschließt, hat endlichen Inhalt.

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Lösungen zu:

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Teilaufgabe 3b

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

Grenzwert bestimmen

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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