Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik GK Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 4 (5 BE)

"Alkohol auf der Piste" erhöht bekanntlich das Verletzungsrisiko. Nach einer groß angelegten Aufklärungskampagne vermutet die ortsansässige Bergwacht, dass im Skigebiet der Anteil

p

aller Erwachsenen, die auf Alkoholkonsum beim Wintersport verzichten, mindestens

80 %

beträgt. Die Bergwacht will die Nullhypothese

H_{0} : p \geq 0, 8

auf dem Signifikanzniveau

5 %

testen. Dazu wird bei 200 zufällig ausgewählten erwachsenen Wintersportlern ein Alkoholtest durchgeführt. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel mit einem möglichst großen Ablehnungsbereich.

Lösung zu Teilaufgabe 4

Hypothesentest - Fehler erster Art

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Daten aus der Aufgabenstellung analysieren:

Nullhypothese:

H_{0} : p_{0} \geq 0, 8

Alternative:

H_{1} : p_{1} < 0, 8

n = 200

Testpersonen

5 %

Signifikanzniveau

Entscheidungsregel:

Schritt einblenden / ausblenden

Fehler 1.Art

Die Vermutung der Bergwacht soll auf dem Signifikanzniveau

5 %

getestet werden, d.h. die Vermutung soll irrtümlich mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens

5 %

verworfen werden.

Das ist der Fall wenn

H_{0}

stimmt, aber man sich im vorderem Bereich

H_{1}

befindet, also

Z \leq k

. Da

H_{0}

stimmt, rechnet man mit der Wahrscheinlichkeit

p_{0} = 0, 8

.
(Bemerkung: gilt für die zu verwendende Wahrscheinlichkeit

p_{0}

das Größer-Gleich-Zeichen, so wählt man das Gleichheitszeichen; in diesem Fall

p_{0} = 0, 8

)

\Rightarrow

Fehler erster Art:

P_{p_{0}}^{n} (Z \leq k) \leq 0, 05

Man spricht von "Fehler erster Art" wenn die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird.

Fehler erster Art:

P_{0, 8}^{200} (Z \leq k) \leq 0, 05

k \leq 150

(Wert wird im stoch. Tafelwerk abgelesen)

Die Entscheidungsregel lautet somit:

\Rightarrow

Ablehnugsbereich für

p_{0} \geq 0, 8

{0, 1, 2, \dots, 150}

Bemerkung:

Der Ablehnungsbereich kann auch für

k < 150

gewählt werden, also beispielsweise für

k = 149

.
Mit der Wahl von

k \leq 150

gibt man den größtmöglichen Ablehnungsbereich an, so wie es von der Aufgabenstellung verlangt ist.

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Teilaufgabe 6b

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Hypothesentest - Fehler erster Art

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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