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Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe
Teilaufgabe 2c  (6 BE)
Nun sei a = 0 , 04 . Der Graph der Funktion F 0 , 04 besitzt für x > 0 einen Wendepunkt W . Bestimmen Sie die Koordinaten von W .
Skizzieren Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse den Graphen von F 0 , 04 im Bereich - 30 ≤ x ≤ 200 in ein Koordinatensystem ( x -Achse: 50 LE = 2,5 cm, y -Achse: 1 LE = 2,5 cm). Verwenden Sie dazu ohne Nachweis: F 0 , 04 ( - 30 ) ≈ - 1 , 45 und F 0 , 04 ( 200 ) ≈ 1 , 97 .
 
Lösung zu Teilaufgabe 2c
Wendepunkt ermitteln



F a ( x ) = 2 - e - a x ⋅ ( a 2 x 2 + 2 a x + 2 )

a = 0 , 04

⇒ F 0 , 04 ( x ) = 2 - e - 0 , 04 ⋅ x ⋅ ( ( 0 , 04 ) 2 x 2 + 0 , 08 ⋅ x + 2 )


Zweite Ableitung bestimmen:

F 0 , 04 ′ ( x ) = f 0 , 04 ( x )

⇒ F 0 , 04 ′ ′ ( x ) = f 0 , 04 ′ ( x )


Zweite Ableitung Null setzen:

F 0 , 04 ′ ′ ( x ) = 0 ⇔ f 0 , 04 ′ ( x ) = 0

⇒ x W = 2 a = 2 0 , 04 = 50 (siehe Teilaufgabe 1b)


Lage bestimmen:

y W = F 0 , 04 ( x W ) = F 0 , 04 ( 50 ) = 2 - e - 0 , 04 ⋅ 50 ⋅ ( ( 0 , 04 ) 2 ( 50 ) 2 + 0 , 08 ⋅ 50 + 2 ) = 2 - 10 e - 2 ≈ 0 , 65


Überprüfen ob es sich tatsächlich um einen Wendepunkt handelt:
Schritt einblenden / ausblenden
F 0 , 04 ′ ′ ′ ( x W ) = f 0 , 04 ′ ′ ( x W ) = f 0 , 04 ′ ′ ( 50 ) = - 2 ( 0 , 04 ) 3 e - 2 ≠ 0 (siehe Teilaufgabe 1b)

⇒ W ( 50 | 0 , 65 ) Wendepunkt
Skizze



Umrechnungstabelle (Längeneinheit LE - cm)



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Teilaufgabe 1a
Teilaufgabe 1b
Teilaufgabe 2a
Teilaufgabe 2b
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Teilaufgabe 3a
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Themen dieser Aufgabe:
Wendepunkt ermitteln
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