Abitur 2009 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

Gegeben ist die Schar der Funktionen

f_{a} : x \mapsto a^{3} x^{2} e^{- a x}

mit

a \in ℝ^{+}

und der Definitionsmenge

ℝ

. Der Graph von

f_{a}

wird mit

G_{a}

bezeichnet. Die Abbildung zeigt

G_{a}

für

a = 0, 04

Teilaufgabe 1a (3 BE)

Untersuchen Sie am Funktionsterm das Verhalten von

f_{a}

für

x \to - \infty

und für

x \to + \infty

. Begründen Sie, dass

G_{a}

nie unterhalb der

x

-Achse verläuft.

Teilaufgabe 1b (7 BE)

Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte von

G_{a}

.
[Zur Kontrolle: Tiefpunkt bei

x = 0

und Hochpunkt bei

x = \frac{2}{a}

]

Nun werden die in

ℝ

definierten Integralfunktionen

F_{a} : x \mapsto \int_{0}^{x} f_{a} (t) d t

betrachtet.

Teilaufgabe 2a (4 BE)

Begründen Sie ohne Ausführung der Integration, dass der Graph von

F_{a}

für alle

a \in ℝ^{+}

durch den Koordinatenursprung verläuft und dort einen Terrassenpunkt besitzt.

Teilaufgabe 2b (10 BE)

Berechnen Sie durch partielle Integration einen integralfreien Term für

F_{a}

. Geben Sie den Grenzwert von

F_{a}

für

x \to + \infty

an und interpretieren Sie das Ergebnis am Graphen

G_{a}

.
[Teilergebnis:

F_{a} (x) = 2 - e^{- a x} \cdot (a^{2} x^{2} + 2 a x + 2)

]

Teilaufgabe 2c (6 BE)

Nun sei

a = 0, 04

. Der Graph der Funktion

F_{0, 04}

besitzt für

x > 0

einen Wendepunkt

W

. Bestimmen Sie die Koordinaten von

W

.
Skizzieren Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse den Graphen von

F_{0, 04}

im Bereich

- 30 \leq x \leq 200

in ein Koordinatensystem (

x

-Achse: 50 LE = 2,5 cm,

y

-Achse: 1 LE = 2,5 cm). Verwenden Sie dazu ohne Nachweis:

F_{0, 04} (- 30) \approx - 1, 45

und

F_{0, 04} (200) \approx 1, 97

Die Gruppe "Die toten Rosen" gibt ein Konzert. Es beginnt um 20 Uhr, der Einlass wird ab 18 Uhr gewährt. Der Besucherzustrom soll durch eine Funktion

g

der Form

g (x) = k \cdot f_{a} (x)

mit geeignetem

a

und geeignetem

k > 0

modelliert werden. Dabei bedeutet

x

die seit 18 Uhr vergangene Zeit in Minuten.

g (x)

gibt die momentane Zunahme der Besucherzahl in Besucher pro Minute an.

Teilaufgabe 3a (5 BE)

Bestimmen Sie die Parameter

a

und

k

, wenn das Maximum der Funktion

g

um 18.50 Uhr auftritt und 26 Besucher pro Minute beträgt.

Teilaufgabe 3b (5 BE)

Berechnen Sie für

a = 0, 04

und

k = 1200

unter Verwendung des in Teilaufgabe 2b ermittelten Terms

F_{a} (x)

das Integral

\int_{0}^{120} g (x) d x

und interpretieren Sie das Ergebnis im Anwendungszusammenhang.

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Lösung als Video:

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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