Lösung Abitur Bayern 2005 Mathematik LK Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3a (6 BE)

Die

10 %

Billigtickets zum Preis von

49

€ für Flüge an ein beliebtes Reiseziel werden stets alle in kürzester Zeit verkauft. Danach werden alle verbleibenden Tickets zunächst zum regulären Flugpreis von

199

€ angeboten. Für die Flugtickets, die zwei Wochen vor Abreise noch nicht verkauft worden sind, wird ein Last-Minute-Preis von

99

€ festgelegt. Durch dieses Angebot können im Mittel noch

60 %

der Last-Minute-Tickets verkauft werden.

Welcher Anteil der für dieses Reiseziel zunächst zum regulären Flugpreis angebotenen Tickets muss mindestens verkauft werden, damit der Durchschnittspreis pro Sitzplatz größer als

150

€ ist? Geben Sie das Ergebnis auf ganze Prozent genau an.

Lösung zu Teilaufgabe 3a

Erwartungswert einer Zufallsgröße

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Erläuterung

Zu welchem Preis ein Flugticket verkauft wird stellt die folgende Grafik (kein Baumdiagramm) dar:

1° Fall:

Das Flugticket wird als Billigticket verkauft für 49 €.

10 %

der Flugtickets sind Billigtickets

\Rightarrow P (X = 49

€

) = 0, 1

2° Fall:

Es handelt sich nicht um ein Billigticket, also ist

P (X = 199

€

) = 0, 9 \cdot x

. Die Wahrscheinlichkeit (

x

), dass ein Flugticket, das kein Billigticket ist, zum regulären Preis von 199 € verkauft wird ist unbekannt.

3° und 4° Fall:

Das Flugticket wird nicht zum regulären Preis verkauft sondern als Last-Minute-Ticket angeboten.

60 %

aller Last-Minute-Tickets werden im Schnitt verkauft.

\Rightarrow P (X = 99

€

) = 0, 9 \cdot (1 - x) \cdot 0, 6

\Rightarrow P (X = 0

€

) = 0, 9 \cdot (1 - x) \cdot 0, 4

P (X = 49

€

) = 0, 1

Billigflüge durch Frühbucher

P (X = 199

€

) = 0, 9 \cdot x

regulärer Flugpreis

P (X = 99

€

) = 0, 9 \cdot (1 - x) \cdot 0, 6

verkaufte Last-Minute-Flüge

P (X = 99

€

) = 0, 9 \cdot (1 - x) \cdot 0, 4

nicht verkaufte Last-Minute-Flüge

Die Tabelle für die Wahrscheinlichkeitsverteilung

P (X)

kann erstellt werden:

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Erwartungswert einer Zufallsgröße

Der Erwartungswert einer Zufallsgröße

X

bei

n

Versuchen ist definiert als:

E_{n} (X) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot P (X = x_{i})

\Rightarrow E (X) = 4, 9 + 53, 46 \cdot (1 - x) + 179, 1 x

= 4, 9 + 53, 46 - 53, 46 x + 179, 1 x

= 125, 64 x + 58, 36

Der Durchschnittspreis pro Sitzplatz soll größer als 150 € sein:

\Rightarrow 125, 64 x + 58, 36 > 150

\Rightarrow x > \frac{150 - 58, 36}{125, 64} = 72, 9 %

\Rightarrow x \geq 73 %

Es müssen mindestens

73 %

der angebotenen Flugtickets zum regulären Preis verkauft werden.

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Erwartungswert einer Zufallsgröße

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