Lösung Abitur Bayern 2005 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1e (7 BE)

Bestätigen Sie, dass für

k \in ℝ

gilt:

f_{k} (x) = w (x) - {f_{k}}^{'} (x)

.
Der Graph

G_{1}

begrenzt im ersten Quadranten mit der x-Achse ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück mit endlichem Inhalt. Berechnen Sie diesen Flächeninhalt mit Hilfe der obigen Beziehung.

Lösung zu Teilaufgabe 1e

Bestätigung einer Behauptung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

w (x) - f_{k}^{'} (x) = 2 x \cdot e^{- x} - (- x^{2} + 2 x + k - 1) \cdot e^{- x}

w (x) - f_{k}^{'} (x) = (2 x + x^{2} - 2 x - k + 1) \cdot e^{- x}

w (x) - f_{k}^{'} (x) = \underset{f_{k} (x)}{\underset{︸}{(x^{2} - k + 1) \cdot e^{- x}}}

Flächenberechnung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

\int_{0}^{\infty} f_{1} (x) dx = \int_{0}^{\infty} (w (x) - f^{'} (x) dx) = \int_{0}^{\infty} w (x) dx - \int_{0}^{\infty} f^{'} (x) dx

Nebenrechnung:

\int w (x) dx = \int 2 x \cdot e^{- x} dx

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Partielle Integration

\int_{b}^{a} f (x) \cdot g^{'} (x) ⅆ x = {[f (x) \cdot g (x)]}_{b}^{a} - \int_{b}^{a} f^{'} (x) \cdot g (x) ⅆ x

Beispiel:

\int_{b}^{a} x \cdot e^{x} ⅆ x

In diesem Fall ist

f (x) = x

und

g^{'} (x) = e^{x}

, d.h.

f^{'} (x) = 1

und

g (x) = \int g^{'} (x) ⅆ x = \int e^{x} ⅆ x = e^{x}

\Rightarrow \int_{b}^{a} x \cdot e^{x} ⅆ x = {[\underset{f}{\underset{↑}{x}} \cdot \underset{g}{\underset{↑}{e^{x}}}]}_{b}^{a} - \int_{b}^{a} \underset{f^{'}}{\underset{↑}{1}} \cdot \underset{g}{\underset{↑}{e^{x}}} ⅆ x = {[x e^{x} - e^{x}]}_{b}^{a}

\int w (x) dx = - e^{- x} \cdot 2 x - \int - e^{- x} \cdot 2 dx

\int w (x) dx = - 2 x e^{- x} - 2 x e^{- x} + C

\int w (x) dx = - 2 x e^{- x} (x + 1) + C

\int_{0}^{\infty} f_{1} (x) dx = lim_{b \to \infty} {\int_{0}^{b} 2 x \cdot e^{- x} dx - \int_{0}^{b} f^{'} (x) dx}

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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) dx = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

\int_{0}^{\infty} f_{1} (x) dx = lim_{b \to \infty} {{[- 2 e^{- x} (x + 1) - x^{2} \cdot e^{- x}]}_{0}^{b}}

\int_{0}^{\infty} f_{1} (x) dx = lim_{b \to \infty} [- 2 e^{- b} (b + 1) - b^{2} \cdot e^{- b} + 2]

\int_{0}^{\infty} f_{1} (x) dx = lim_{b \to \infty} [- 2 \cdot \frac{b + 1}{e^{b}} - \frac{b^{2}}{e^{b}} + 2]

\int_{0}^{\infty} f_{1} (x) dx = lim_{b \to \infty} [\frac{\overset{\to \infty}{\overset{︷}{b^{2} - 2 b - 2}}}{\underset{\to \infty}{\underset{︸}{e^{b}}}} + 2]

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L’Hospitalsche Regel

Liegt bei

lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)}

ein "unbestimmter Ausdruck" der Form "

\frac{0}{0}

" oder "

\frac{\infty}{\infty}

" vor, dann besagt die Regel von l'Hospital:

lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to x_{0}} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}

(Zähler und Nenner werden einzeln abgeleitet.)

Hier wird die Regel zweimal angewendet.

\int_{0}^{\infty} f_{1} (x) dx = lim_{b \to \infty} [\frac{\overset{\to \infty}{\overset{︷}{2 b - 2}}}{\underset{\to \infty}{\underset{︸}{e^{b}}}} + 2]

\int_{0}^{\infty} f_{1} (x) dx = lim_{b \to \infty} [\underset{\to 0}{\underset{︸}{\frac{2}{\underset{\to \infty}{\underset{︸}{e^{b}}}}}} + 2] = 2

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

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Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

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Themen dieser Aufgabe:

Bestätigung einer Behauptung

Flächenberechnung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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