Abitur 2005 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I

Gegeben ist die Schar der in

ℝ

definierten Funktionen

f_{k} : x \mapsto (x^{2} + 1 - k) \cdot e^{- x}

mit

k \in ℝ

.
Der Graph von

f_{k}

wird mit

G_{k}

bezeichnet.

Teilaufgabe 1a (4 BE)

Untersuchen Sie

f_{k}

auf Nullstellen in Abhängigkeit von k. Bestimmen Sie das Verhalten von

f_{k}

für

x \to - \infty

und

x \to + \infty

Teilaufgabe 1b (4 BE)

Zeigen Sie, dass sich je zwei verschiedene Graphen

G_{k}

nicht schneiden, einander aber beliebig nahe kommen.

Teilaufgabe 1c (7 BE)

Für welche Werte von k besitzt

G_{k}

mindestens eine waagrechte Tangente? Zeigen Sie, dass die Punkte von

G_{k}

mit waagrechter Tangente auf dem Graphen W der Funktion

w : x \mapsto 2 x e^{- x}

mit

x \in ℝ

liegen.

Teilaufgabe 1d (5 BE)

Die unten stehende Abbildung zeigt die Graphen

G_{1}

und W. Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse den Graphen

G_{2}

in die Abbildung ein.

Teilaufgabe 1e (7 BE)

Bestätigen Sie, dass für

k \in ℝ

gilt:

f_{k} (x) = w (x) - {f_{k}}^{'} (x)

.
Der Graph

G_{1}

begrenzt im ersten Quadranten mit der x-Achse ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück mit endlichem Inhalt. Berechnen Sie diesen Flächeninhalt mit Hilfe der obigen Beziehung.

In einer Fachzeitschrift war zu lesen:

"Am oder um den 12. Oktober 1999 hat die Weltbev&ouml;lkerung die Grenze von sechs Milliarden Menschen überschritten. Zu Beginn des Jahres 2003 lebten bereits 6.274 Milliarden Erdenbürger. Im Jahr 2003 wurden im weltweiten Durchschnitt auf tausend Menschen, die zu Jahresbeginn lebten, 22 Geburten und 9 Todesfälle gezählt."

Teilaufgabe 2a (4 BE)

Wie viele Kinder wurden 2003 im Durchschnitt näherungsweise pro Minute geboren?
Wie viele Milliarden Menschen lebten zu Beginn des Jahres 2004?

Teilaufgabe 2b (6 BE)

Sollte sich die Bevölkerungsentwicklung von 2003 in Zukunft nicht ändern, so ließe sich die Anzahl

N (j)

der Erdenbürger zu Beginn des Jahres j nach der Formel

N (j) = N (2003) \cdot a^{j - 2003}

berechnen.
Bestimmen Sie a und das Kalenderjahr, in dem die Zahl von neun Milliarden Menschen überschritten würde.

Teilaufgabe 2c (3 BE)

Bilden Sie die Ableitung der Funktion

N : j \mapsto N (j), j \in [2003; + \infty [

.
Welcher Zusammenhang besteht zwischen

N (j)

und

N^{'} (j)

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Lösung als Video:

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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