Lösung Abitur Bayern 2002 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1b (11 BE)

Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunktes von

. Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von

und geben Sie die Lage des Wendepunktes an. [zur Kontrolle:

]

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Lage von Extrempunkten ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

f_{a} (x) = e^{x} (x - a)

Erste Ableitung bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Produktregel der Differenzialrechnung

f (x) = u (x) \cdot v (x)

\Rightarrow

f^{'} (x) = u^{'} (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v^{'} (x)

In diesem Fall ist

u (x) = e^{x}

und

v (x) = x - a

.

Für die Exponentialfunktion gilt:

{(e^{x})}^{'} = e^{x}

f_{a}^{'} (x) = e^{x} \cdot (x - a) + e^{x} \cdot 1

f_{a}^{'} (x) = e^{x} \cdot (x - a + 1)

Schritt einblenden / ausblenden

Notwendige Bedingung

Folgende notwendige Bedingung muss für einen Extrempunkt an der Stelle

x^{E}

erfüllt sein:

f^{'} (x^{E}) = 0

daher immer der Ansatz:

f^{'} (x) = 0

Erste Ableitung gleich Null setzen:

f_{a}^{'} (x) = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Produkt gleich Null setzen

Das Produkt zweier Terme

a

und

b

ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Terme Null ist:

a \cdot b = 0

\Leftrightarrow

a = 0

und/oder

b = 0

Alle Terme werden einzeln untersucht.

Da

e^{x} > 0

für alle

x \in ℝ

, muss nur der Term

x - a + 1

untersucht werden.

\underset{> 0}{\underset{︸}{e^{x}}} \cdot (x - a + 1) = 0

x - a + 1 = 0

\Rightarrow

x^{E} = a - 1

(mögliche Extremstelle)

y^{E} = f_{a} (a - 1) = e^{a - 1} \cdot (a - 1 - a) = - e^{a - 1}

\Rightarrow

E (a - 1 | - e^{a - 1})

(möglicher Extrempunkt)

Art von Extrempunkten ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Zweite Ableitung bilden:

Schritt einblenden / ausblenden

Produktregel der Differenzialrechnung

f (x) = u (x) \cdot v (x)

\Rightarrow

f^{'} (x) = u^{'} (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v^{'} (x)

In diesem Fall ist

u (x) = e^{x}

und

v (x) = x - a + 1

.

Für die Exponentialfunktion gilt:

{(e^{x})}^{'} = e^{x}

f_{a}^{''} (x) = e^{x} \cdot (x - a + 1) + e^{x} \cdot 1

f_{a}^{''} (x) = e^{x} \cdot (x - a + 2)

Prüfen, ob es sich um eine Extremstelle handelt:

Schritt einblenden / ausblenden

Wertebereich der Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion

e^{x}

ist auf ganz

ℝ

stets positiv.

f_{a}^{''} (a - 1) = e^{a - 1} \cdot (a - 1 - a + 2) = e^{a - 1} > 0

für alle

a \in ℝ

Schritt einblenden / ausblenden

Art eines Extremums

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und

f^{''} (x^{E}) > 0

, so hat die Funktion an der Stelle

x^{E}

einen Tiefpunkt (Minimum).

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und

f^{''} (x^{E}) < 0

, so hat die Funktion an der Stelle

x^{E}

einen Hochpunkt (Maximum).

\Rightarrow

E (a - 1 | - e^{a - 1})

ist Minimum

Krümmungsverhalten einer Funktion

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Krümmungsverhalten:

Schritt einblenden / ausblenden

konvexe Krümmung

konkave Krümmung

Wendepunkt ermitteln

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Schritt einblenden / ausblenden

Der Wendepunkt ist

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Themen dieser Aufgabe:

Lage von Extrempunkten ermitteln

Art von Extrempunkten ermitteln

Krümmungsverhalten einer Funktion

Wendepunkt ermitteln

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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