Lösung Abitur Bayern 2000 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2b (7 BE)

Zeigen Sie, dass

F : x \mapsto x - 4 \cdot \ln (x + 2) - \frac{2}{x + 2} für x > - 2

eine Stammfunktion von f ist. Bestimmen Sie den Flächeninhalt A durch Integration (2 Dezimalen).

Lösung zu Teilaufgabe 2b

Nachweis einer Stammfunktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Zeichnung: Exakte Fläche A: -

\int_{- 1}^{1} f (x) dx

F : x \mapsto x - 4 · \ln (x + 2) - \frac{2}{x + 2}

Schritt einblenden / ausblenden

Nachweis der Stammfunktion

F ist Stammfunktion von f, wenn gilt:

F^{'} = f

Es ist also sie Ableitung von F zu bilden und dann mit f zu vergleichen:

erste Ableitung von F:

Schritt einblenden / ausblenden

Erste Ableitung

Der Term

4 · \ln (x + 2)

wird nach folgender Regel abgeleitet:

\ln {(g (x))}^{'} = \frac{g^{'} (x)}{g (x)}

F^{'} (x) = 1 - 4 \cdot \frac{1}{x + 2} + \frac{2}{{(x + 2)}^{2}} \cdot 1

= \frac{{(x + 2)}^{2} - 4 \cdot (x + 2) + 2}{{(x + 2)}^{2}}

= \frac{x^{2} + 4 \cdot x + 4 - 4 \cdot x - 8 + 2}{{(x + 2)}^{2}}

= \frac{x^{2} - 2}{{(x + 2)}^{2}} = f (x)

Also ist F eine Stammfunktion von f.

Schritt einblenden / ausblenden

F^{'} (x) = 1 - 4 \cdot \frac{1}{x + 2} + \frac{2}{{(x + 2)}^{2}} \cdot 1

= \frac{{(x + 2)}^{2} - 4 \cdot (x + 2) + 2}{{(x + 2)}^{2}}

= \frac{x^{2} + 4 \cdot x + 4 - 4 \cdot x - 8 + 2}{{(x + 2)}^{2}}

= \frac{x^{2} - 2}{{(x + 2)}^{2}} = f (x)

Also ist F eine Stammfunktion von f.

Bestimmtes Integral

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Berechnung der exakten Fläche A:

Schritt einblenden / ausblenden

Flächen berechnen

Bestimmtes Integral

Die Fläche zwischen einem Funktionsgraphen

G_{f}

und der x-Achse in den Grenzen von a bis b wird bestimmt als:

A = | \int_{a}^{b} f (x) dx | = | F (b) - F (a) |

In diesem Fall sind die Integrationsgrenzen 1 und -1 in den Term der Stammfunktion F einzusetzen und die Funktionswerte F(1) und F(-1) voneinander zu subtrahieren.

\int_{- 1}^{1} f (x) dx = F (1) - F (- 1)

= (1 - 4 ln3 - \frac{2}{3}) - (- 1 - 4 ln1 - 2)

= - 4 ln3 + \frac{10}{3}

\approx - 1, 06

Die exakte Fläche beträgt gerundet 1,06 FE.

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Nachweis einer Stammfunktion

Bestimmtes Integral

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