Lösung Abitur Bayern 1998 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3b (7 BE)

Berechnen Sie für

0 < u < e^{- 1}

den Inhalt der Gesamtfläche

A (u)

, die im Bereich

u \leq x \leq e

zwischen

G_{f}

und der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten liegt. Berechnen Sie

lim_{u \to 0} A (u)

Lösung zu Teilaufgabe 3b

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

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Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen berechnet man mit Hilfe des Integrals über die Differenz beider Graphen.

Bei der Differenz aus den beiden Funktionsgraphen muss jeweils der kleinere Wert vom größeren abgezogen werden.

Bei den gegebenen Funktionen besitzt

f (x)

im Bereich

0 < x < e^{- 1}

die größeren Funktionswerte, für

e^{- 1} < x < e

sind die Funktionswerte von

y = x

größer.
Deshalb müssen zur Bestimmung von

A (u)

hier beide Integrale gebildet werden, im Bereich zwischen

u

und

e^{- 1}

aud der Differenz von

f (t)

und

t

, im Bereich zwischen

e^{- 1}

und

x

aus der Differenz von

t

und

f (t)

A (u) = \underset{A_{1}}{\underset{︸}{\int_{u}^{e^{- 1}} (f (t) - t) d t}} + \underset{A_{2}}{\underset{︸}{\int_{u^{- 1}}^{x} (t - f (t)) d t}}

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist F eine Stammfunktion von f dann gilt:

\int_{a}^{b} f (x) ⅆ x = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

Die Stammfunktion von

y = t

ist

\frac{t^{2}}{2}

Die Stammfunktion von

f (t)

ist

F (t) = \frac{t^{2}}{8} [2 (\ln t)^{2} - 2 \ln t + 3]

(siehe Teilaufgabe 3a)

= {[F (t) - \frac{t^{2}}{2}]}_{u}^{e^{- 1}} + {[\frac{t^{2}}{2} - F (t)]}_{e^{- 1}}^{x}

= [(F (e^{- 1}) - \frac{{(e^{- 1})}^{2}}{2}) - (F (u) - \frac{u^{2}}{2})] + [(\frac{x^{2}}{2} - F (x)) - (\frac{{(e^{- 1})}^{2}}{2} - F (e^{- 1}))]

= 2 F (e^{- 1}) - e^{- 2} + \frac{x^{2}}{2} - F (x) - F (u) + \frac{u^{2}}{2}

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

Einsetzen der Terme

e^{- 1}, x

und

u

in die Funktion

F (x) = \frac{x^{2}}{8} [2 (\ln x)^{2} - 2 \ln x + 3]

= 2 \cdot \frac{e^{- 2}}{8} [2 {(\underset{= - 1}{\underset{︸}{\ln e^{- 1}}})}^{2} - 2 \underset{= - 1}{\underset{︸}{\ln e^{- 1}}} + 3] - e^{- 2} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{8} [2 (\ln x)^{2} - 2 \ln x + 3]

- \frac{u^{2}}{8} [2 (\ln u)^{2} - 2 \ln u + 3] + \frac{u^{2}}{2}

= \frac{3}{4} e^{- 2} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{8} [2 (\ln x)^{2} - 2 \ln x + 3] - \frac{u^{2}}{8} [2 (\ln u)^{2} - 2 \ln u + 3] + \frac{u^{2}}{2}

Grenzwert bestimmen

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lim_{u \to 0} A (u) = lim_{u \to 0} (\frac{3}{4} e^{- 2} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{8} [2 (\ln x)^{2} - 2 \ln x + 3] - \frac{u^{2}}{8} [2 (\ln u)^{2} - 2 \ln u + 3] + \frac{u^{2}}{2})

= \frac{3}{4} e^{- 2} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{8} [2 (\ln x)^{2} - 2 \ln x + 3] - lim_{u \to 0} (\frac{u^{2}}{8} [2 (\ln u)^{2} - 2 \ln u + 3] + \frac{u^{2}}{2})

= \frac{3}{4} e^{- 2} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{8} [2 (\ln x)^{2} - 2 \ln x + 3] - lim_{u \to 0} (\underset{\to 0}{\underset{︸}{\underset{\to 0}{\underset{︸}{\frac{u^{2}}{4}}} \underset{\to \infty}{\underset{︸}{(\underset{\to - \infty}{\underset{︸}{\ln u}})^{2}}}}} - \underset{\to 0}{\underset{︸}{\frac{u^{2}}{4} \ln u}} + \underset{\to 0}{\underset{︸}{\frac{3}{8} u^{2}}} + \underset{\to 0}{\underset{︸}{\frac{u^{2}}{2}}})

\Rightarrow lim_{u \to 0} A (u) = \frac{3}{4} e^{- 2} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{8} [2 (\ln x)^{2} - 2 \ln x + 3]

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Teilaufgabe 4

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Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

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