Lösung Abitur Bayern 2023 Mathematik Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 1 (3 BE)

Die Sektoren des abgebildeten Glücksrads sind gleich groß und mit den Zahlen von 0 bis 9 durchnummeriert.

Das Glücksrad wird zwanzigmal gedreht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse

A

und

B

A

: "Es wird genau siebenmal eine ungerade Zahl erzielt."

B

: "Es wird mehr als siebenmal und höchstens zwölfmal eine ungerade Zahl erzielt."

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1

Binomialverteilung

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p ("ungerade Zahl") = \frac{5}{10} = 0, 5

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Bernoulli-Formel

Die Wahrscheinlichkeit genau

k

Treffer bei

n

Versuchen zu erzielen beträgt:

P (k Treffer) = P_{p}^{n} (X = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

Dabei ist:

n =

Anzahl der Versuche

k =

Anzahl der Treffer

p =

Wahrscheinlichkeit eines Treffers pro Versuch

1 - p =

Wahrscheinlichkeit einer Niete pro Versuch

P (A) = P_{0, 5}^{20} (X = 7) = (\binom{20}{7}) \cdot 0, 5^{7} \cdot 0, 5^{13} \approx 0, 07393 \approx 7, 4 %

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Erläuterung

Es wird mehr als siebenmal (

X \geq 8

) und höchstens zwölfmal (

X \leq 12

) eine ungerade Zahl erzielt.

P (B) = P_{0, 5}^{20} (8 \leq X \leq 12)

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Bernoulli-Formel

Wenn die Zufallsvariable

X

zwischen zwei Zahlen

a

und

b

liegen soll, dann gilt:

P (a \leq X \leq b) = P (X \leq b) - P (X \leq a - 1)

"Obere Grenze minus die um 1 verkleinerte untere Grenze"

P (B) = P_{0, 5}^{20} (X \leq 12) - P_{0, 5}^{20} (X \leq 7) \overset{TW}{=} 0, 86841 - 0, 13159 = 0, 73682 \approx 73, 7 %

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Themen dieser Aufgabe:

Binomialverteilung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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