Lösung Abitur Bayern 2021 Mathematik Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 3 (6 BE)

Der Freizeitpark veranstaltet ein Glücksspiel, bei dem Eintrittskarten für den Freizeitpark gewonnen werden können. Zu Beginn des Spiels wirft man einen Würfel, dessen Seiten mit den Zahlen 1 bis 6 durchnummeriert sind. Erzielt man dabei die Zahl 6, darf man anschließend einmal an einem Glücksrad mit drei Sektoren drehen (vgl. schematische Abbildung). Wird Sektor

K

erzielt, gewinnt man eine Kinderkarte im Wert von 28 Euro, bei Sektor

E

eine Erwachsenenkarte im Wert von 36 Euro. Bei Sektor

N

geht man leer aus. Der Mittelpunktswinkel des Sektors

N

beträgt

160^{\circ}

. Die Größen der Sektoren

K

und

E

sind so gewählt, dass pro Spiel der Gewinn im Mittel drei Euro beträgt. Bestimmen Sie die Größe der Mittelpunktswinkel der Sektoren

K

und

E

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 3

Wahrscheinlichkeitsverteilung

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P (N) = \frac{160^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{4}{9}

Sei

P (K) = p

die Wahrscheinlichkeit den Sektor

K

zu erzielen.

P (E) = 1 - \frac{4}{9} - p = \frac{5}{9} - p

Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Gewinn:

Erwartungswert einer Zufallsgröße

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Erwartungswert für den Gewinn:

E (G) = 3

Schritt einblenden / ausblenden

Erwartungswert einer Zufallsgröße

Nimmt eine Zufallsgröße

X

die Werte

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

jeweils mit den Wahrscheinlichkeiten

p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}

an, so gilt für den Erwartungswert dieser Zufallsgröße:

E (X) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot P (X = x_{i}) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n}

0 \cdot p_{0} + 28 \cdot \frac{1}{6} p + 36 \cdot \frac{1}{6} \cdot (\frac{5}{9} - p) = 3

\frac{1}{6} \cdot [28 p + 36 \cdot (\frac{5}{9} - p)] = 3

28 p + 20 - 36 p = 18

- 8 p = - 2

p = \frac{1}{4}

\Rightarrow

Sektor

K

360^{\circ} \cdot \frac{1}{4} = 90^{\circ}

\Rightarrow

Sektor

E

360^{\circ} - 160^{\circ} - 90^{\circ} = 110^{\circ}

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Wahrscheinlichkeitsverteilung

Erwartungswert einer Zufallsgröße

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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