Lösung Abitur Bayern 2019 Mathematik Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 2d (5 BE)

Das Unternehmen richtet ein Online-Portal zur Reservierung ein und vermutet, dass dadurch der Anteil der Personen mit Reservierung, die zur jeweiligen Fahrt nicht erscheinen, zunehmen könnte. Als Grundlage für die Entscheidung darüber, ob pro Fahrt künftig mehr als 64 Reservierungen zugelassen werden, soll die Nullhypothese "Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, beträgt höchstens

10 %

." mithilfe einer Stichprobe von 200 Personen mit Reservierung auf einem Signifikanzniveau von

5 %

getestet werden. Vor der Durchführung des Tests wird festgelegt, die Anzahl der für eine Fahrt möglichen Reservierungen nur dann zu erhöhen, wenn die Nullhypothese aufgrund des Testergebnisses abgelehnt werden müsste.

Ermitteln Sie die zugehörige Entscheidungsregel.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 2d

Hypothesentest - Fehler erster Art

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Text analysieren und Daten herauslesen:

Nullhypothese:

H_{0} : p \leq 0, 1

Stichprobenumfang:

n = 200

Signifikanzniveau:

α = 5 %

Annahmebereich von

H_{0}

A = [0, k]

Ablehnungsbereich von

H_{0}

\bar{A} = [k + 1, 200]

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Nullhypothese

Da hier die Nullhypothese "

p \leq 0, 1

" bzw. "höchstens

10 %

" lautet, liegt der Annahmebereich links und der Ablehnungsbereich rechts.

Fehler 1. Art bestimmen:

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Fehler 1.Art

Man spricht von "Fehler 1. Art", wenn die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird.

Das ist der Fall, wenn

H_{0}

wahr ist, man sich aber gegen

H_{0}

entscheidet, da das Stichprobenergebnis zufällig im Ablehnungsbereich liegt (

X \geq k + 1

\Rightarrow

Fehler erster Art:

P_{0, 1}^{200} (X \geq k + 1) \leq 0, 05

P_{0, 1}^{200} (X \geq k + 1) \leq 0, 05

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Gegenereignis

Betrachtung des Gegenereignisses:

P(mindestens k+1 Treffer) = 1 - P(höchstens k Treffer)

In mathematischen Zeichen:

P (X \geq k + 1) = 1 - P (X \leq k)

1 - P_{0, 1}^{200} (X \leq k) \leq 0, 05

|

- 1

- P_{0, 1}^{200} (X \leq k) \leq - 0, 95

|

\cdot (- 1)

(da die Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert wird, ändert sich das Relationszeichen)

P_{0, 1}^{200} (X \leq k) \geq 0, 95

Aus dem Tafelwerk ablesen:

k = 27

Entscheidungsregel:

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Themen dieser Aufgabe:

Hypothesentest - Fehler erster Art

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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