Lösung Abitur Bayern 2019 Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 1a (3 BE)

Gegeben ist die Funktion

f : x \mapsto 2 - \ln (x - 1)

mit maximalem Definitionsbereich

D_{f}

. Der Graph von

f

wird mit

G_{f}

bezeichnet.

Zeigen Sie, dass

D_{f} =] 1; + \infty [

ist, und geben Sie das Verhalten von

f

an den Grenzen des Definitionsbereichs an.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1a

Definitionsbereich bestimmen

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Definitionsbereich der Logarithmusfunktion

\ln (x - 1)

ist eine Logarithmusfunktion des Typs

\ln (h (x))

.

Die

\ln

-Funktion ist nur für positive Werte in ihrem Argument definiert. Somit gilt für die Argumentfunktion:

h (x) > 0

.

In diesem Fall:

x - 1 > 0

x - 1 > 0

x > 1

\Rightarrow

D_{f} =] 1; + \infty [

Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs

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lim_{x \to 1^{+}} f (x) = lim_{x \to 1^{+}} 2 - \underset{\to - \infty}{\underset{︸}{\ln \underset{x \to 0^{+}}{\underset{︸}{(x - 1)}}}} = + \infty

lim_{x \to \infty} f (x) = lim_{x \to 1^{+}} 2 \underset{\to - \infty}{\underset{︸}{- \ln \underset{x \to \infty}{\underset{︸}{(x - 1)}}}} = - \infty

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Definitionsbereich bestimmen

Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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