Lösung Abitur Bayern 2012 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2.1 (3 BE)

Gegeben sind die Funktionen

g_{a} : x \mapsto \frac{1}{6} x (x - a)^{2}

mit

D_{g_{a}} = ℝ

und

a \in ℝ

Geben Sie in Abhängigkeit von

a

Lage und Vielfachheit der Nullstellen der Funktion

g_{a}

an.

Lösung zu Teilaufgabe 2.1

Nullstellen einer Funktion

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g_{a} (x) = \frac{1}{6} x (x - a)^{2}

Schritt einblenden / ausblenden

Nullstellen

Der Ansatz um die Nullstellen (die Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse) zu bestimmen, lautet stets:

f (x) = 0

Die Gleichung muss anschließend nach

x

aufgelöst werden.

g_{a} (x) = 0

\Leftrightarrow

\frac{1}{6} x (x - a)^{2} = 0

Schritt einblenden / ausblenden

x = 0

x_{1}^{N} = 0

(x - a)^{2} = 0

\Leftrightarrow

x - a = 0

x_{2}^{N} = a

Vielfachheit der Nullstellen:

Schritt einblenden / ausblenden

Vielfachheit von Nullstellen

Die Vielfachheit einer Nullstelle gibt an, auf welche Art die Funktion die

x

-Achse in einem Punkt "berührt" oder "schneidet".

1-fache Nullstelle: Schnittstelle mit der

x

-Achse.
2-fache (doppelte) Nullstelle: Berührstelle mit der

x

-Achse.
3-fache Nullstelle: Nullstelle ist ein Sattelpunkt/Terrassenpunkt.

(x - 2)^{2} = (x - 2) (x - 2)

\Rightarrow

x = 2

ist doppelte Nullstelle

(x + 5)^{3} = (x + 5) (x + 5) (x + 5)

\Rightarrow

x = - 5

ist dreifache Nullstelle

In diesem Fall berührt der Graph

G_{f - p}

die

x

-Achse an der Stelle

x_{1} = 0

und schneidet sie an der Stelle

x_{2} = 5

Fallunterscheidung:

Schritt einblenden / ausblenden

Fallunterscheidung

Der Faktor

(x - a)

verändert sich für verschiedene Werte von

a

.
Spezialfall ist

a = 0

.
Hier nimmt der Faktor die Form eines anderen Faktors an, der in der Funktionsgleichung vorkommt.

1. Fall:

a = 0

\Rightarrow

g_{0} (x) = \frac{1}{6} x (x - 0)^{2} = \frac{1}{6} x^{3}

x = 0

ist dreifache Nullstelle

2. Fall:

a \neq 0

\Rightarrow

g_{a} (x) = \frac{1}{6} x (x - a)^{2}

x = 0

ist einfache Nullstelle

x = a

ist doppelte Nullstelle

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Nullstellen einer Funktion

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